Чем отличается математическое мышление. Как развить математические способности

Математику не зря называют царицей всех наук, Михаил Ломоносов говорил, что она в порядок ум приводит, и это действительно так. Математическое мышление необходимо развивать еще в детстве, уделяя этому вопросу должное внимание. При этом оптимальным возрастом для начала упражнений на развитие математического мышления можно считать 1-3 года. Позднее в до школьном возрасте удобно работать с уже сформированной базой математического мышления, развивая ее до уровня, который требуется в школе.

Многие взрослые люди считают математику скучной. В основном это не их вина, а родителей, которые не уделили необходимого внимания при обучении, сославшись на учебники. Те же дети, чьи родители развивали математические способности чада путем интересных задачек и наглядных примеров, в основном имеют положительные результаты.
Итак, главный совет – превращайте обучение и развитие математического мышления ребенка в интересный процесс. Используйте не абстрактные понятия, а то, что ближе ребенку – игрушки, природные и бытовые явления, цвета. К тому же вычисление простых математических выражений в уме отлично помогает в жизни, продемонстрируйте ребенку наглядные примеры этого. Используйте деньги для того, чтобы ребенок посчитал, сколько ему нужно для совершения определенной покупки (например, конфеты).
Тренировка любой составляющей части мышления человека – это процесс непрерывный. Чем больше и регулярнее тренируется мозг, тем более поразительный и очевидный получается результат. Ошибочное мнение, что все люди делятся на гуманитариев и математиков. На самом деле, успешный человек одинаково хорошо может разбираться в этих сферах науки.
Организовывайте интересный и разнообразный досуг. Используйте наглядные учебные материалы – плакаты, считалки, головоломки. Решение задач можно писать не только в тетради, но и на доске для большей наглядности.
Чтобы учебный процесс не был утомительным, выбирайте современные онлайн тренажеры, позволяющие развивать математическое мышление в новой и интересной форме. В нашем каталоге игр BrainApp вы найдете множество интересных математических упражнений.

Обязательно чередуйте умственную деятельность с физическими нагрузками. Мозг нуждается в подпитке и не только интеллектуальной, но и физической. Для детей очень важно хотя бы пару часов в день посвящать активным играм (оптимально – на свежем воздухе). Важно не перенапрягать ребенка, а давать ему развиваться планомерно, в удобной и индивидуальной форме.
Последние исследования говорят о важности правильного питания для работы мозга и развития математического мышления. Ребенку важно получать ежедневно необходимое количество белка, кальция, витаминов.
Итак, при развитии математического мышления, очень важна регулярность занятий, разнообразие и интересные подходы. Все это вы найдете на нашем сервисе, где можно в удобной форме развивать математические способности, наблюдая за ежедневным прогрессом.

Р азвитие математических способностей школьника.

Проблема развития математических способностей детей на сегодняшний день одна из наименее разработанных.

Безусловно, способности к тому или иному виду деятельности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических компонентов. Однако на сегодня нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие тех или иных способностей. Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как музыкальные, изобразительные) Для их проявления и дальнейшего развития требуются усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умений применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.

Математика является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) ребенка имеют решающее значение для его усвоения. За важными характеристиками поведения, за успешностью (или неуспешностью) учебной деятельности часто скрываются те природные динамические особенности, о которых говорилось выше. Нередко они порождают и различия в знаниях – их глубине, прочности и обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся к содержательной стороне психической жизни человека, обычно судят об одаренности детей.

Учителя-предметники знают, что математические способности – это товар штучный, и если не заниматься таким ребенком индивидуально, то способности могут и не развиться дальше. Именно поэтому мы наблюдаем, как первоклассник с выделяющимися способностями к третьему классу выравнивается, а в пятом и вовсе перестает отличаться от других детей. Что это?

Исследования психологов показывают, что могут быть разные типы возрастного умственного развития:

«Ранний подъем» (в дошкольном или младшем школьном возрасте) – обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что послужит стартом для становления выдающихся умственных способностей.

При этом факты показывают, что почти все ученые, проявившие себя до 20 лет, были математиками.

Бытует мнение, что мальчики - от природы прирожденные математики.

Поло-ролевые стереотипы и развитие способностей.

К середине 70-х годов был накоплен обширный материал о различиях между полами в познавательной и личностной сферах, который был обобщен американскими учеными К. Жаклин и Э. Маккоби. Проведенный ими анализ различных исследований, посвященных половым различиям, помог развеять многие стереотипы. Они определили, что:
1. Девочки не общительнее мальчиков . Мальчики и девочки одинаково нуждаются в социальных стимулах. Они обладают одинаковыми способностями к научению посредством подражания и одинаково откликаются на поощрение. Мальчики и девочки в равной мере обладают способностью к эмпатии. Существующие различия между полами - это не различия в степени выраженности тех или иных свойств, а различия в их качестве. Так, мальчики больше ориентируются на группу сверстников, склонны к общению в больших группах; девочки общаются парами или небольшими группами и, возможно, более ориентированы на взрослых.

2. Представление о том, что девочки имеют более низкую самооценку, неверно. В детском и подростковом возрасте не выявлено каких-либо различий между полами в степени удовлетворенности своими поступками и уверенности в себе. Однако и здесь существуют качественные различия. Девочки оценивают себя выше в сфере социальной (общественной) компетентности, мальчики чаще видят себя сильными лидерами , обладающими потенциальными (скрытыми) возможностями.

3. Не подтвердилось весьма распространенное мнение о том, что девочкам легче даются задания, требующие воспроизвести те или иные навыки, а мальчики лучше справляются с заданиями, в которых необходимо провести более сложные мыслительные операции или блокировать ранее заученную схему рассуждения.

4. Аналитические способности мальчиков не выше, чем у девочек, за исключением тех заданий, в которых требуется анализировать пространственные соотношения.

5. Не подтвердилось и то, что развитие девочек более подвержено влиянию наследственных факторов, а развитие мальчиков - влиянию окружения. Идентичные близнецы мужского пола обнаруживают больше внутрипарных различий, чем близнецы женского пола. Однако и те, и другие обнаруживают одинаковое сходство со своими родителями. В ряде исследований у мальчиков выявлена более высокая корреляция (взаимосвязь) между воспитанием и поведением, а в ряде исследований соответствующие корреляции выше у девочек.

Вместе с тем Э. Маккоби и К. Жаклин выявили и определенные различия между полами, которые достаточно четко проявляются во многих исследованиях:

1. Девочки опережают мальчиков по развитию вербальных (словесных) способностей. С раннего детства вербальные способности у девочек развиваются быстрее, чем у мальчиков. С 6–7 лет вербальные способности у мальчиков и девочек выравниваются. Затем, примерно с 11 лет, девочки вновь начинают превосходить мальчиков по уровню развития вербальных способностей. Это превосходство сохраняется в период обучения в старших классах и, вероятно, в дальнейшем.

2. Мальчики превосходят девочек по способностям, связанным с ориентацией в пространстве. Это превосходство наблюдается уже у младших подростков и сохраняется у взрослых.

3. Мальчики превосходят девочек по способностям в математике. В раннем детстве мальчики и девочки одинаково усваивают количественные понятия и успевают по арифметике. С 12–13 лет мальчики начинают опережать девочек. Однако отличия мальчиков и девочек по данным разных исследований различны. Это объясняется тем, что при решении различных математических задач требуется как понимание пространственных соотношений, так и развитие вербального мышления.

4. Мальчики более агрессивны. Большая агрессивность мальчиков обнаруживается, как только дети начинают играть в игры, требующие взаимодействия с другими. Мальчики более агрессивны как физически, так и словесно (в спорах, поддразнивании, фантазиях). И хотя агрессия у мальчиков и девочек с возрастом изменяется, у мальчиков она всегда выше. Важно отметить, что большая агрессивность мальчиков по сравнению с девочками характерна для всех культур.

Современное общество пронизано устоявшимися представлениями о женственности и мужественности и соответствующими ожиданиями. Различия в ожиданиях начинают проявляться еще до рождения ребенка. Так, родители в два раза чаще называют предпочтительным рождение мальчика, а не девочки. Цвета, материал выбираемой одежды, игрушки для мальчиков и девочек сильно отличаются. С самого начала девочек учат быть пассивными, проявлять заботу о других, ожидают, что они отдадут предпочтение спокойным играм и занятиям. По данным американских исследований, детская комната мальчика богаче, шире по представленности окружающего мира - в ней машинки, конструкторы, дидактические игры, спортивный инвентарь, животные, военные игрушки. Различна и практика воспитания, начиная с разной реакции на плач младенца, - к девочкам подходят быстрее и успокаивают их чаще.

Маленькие дети очень чувствительны к восприятию поло-ролевых стереотипов. Это проявляется, например, в том, что уже трех-четырехлетние дети знают многое о свойственных каждому полу занятиях. В школьном возрасте происходит закрепление этих стереотипов. Этому способствуют и материалы учебных пособий, и отношение учителей. Проведенный анализ ряда учебников для начальной и средней школы показал, что в них преобладают в качестве главных действующих лиц мальчики или мужчины. Таким образом, мальчикам гораздо легче отождествлять себя с героями рассказов и упражнений, тогда как девочки не находят для себя ролевых моделей. Даже отношение взрослых к девочкам и мальчикам различно. От девочек ждут полного послушания, постоянного прилежания.

Но, независимо от того, какими способностями обладает ваш ребёнок, уровень стандарта он должен усвоить.

В зависимости от деятельности, осуществляемой учеником в процессе выполнения задания, наиболее распространены их следующие виды:

Задания, требующие подражания, когда учитель дает образец выполнения задания, сопровождая свои действия необходимыми пояснениями, а дети следят за показом и затем воспроизводят, стремясь при этом достичь наибольшего сходства с образцом;

Задания тренировочные, требующие от учеников самостоятельного применения знаний, приобретенных ранее под руководством учителя в условиях, аналогичных тем, в которых они формировались;

Задания, которые способствуют проявлению у детей активной мысли, творчества.

Учитывая специфику курса математики в начальных классах, можно выделить виды заданий, в основе которых лежит:

- запоминание таблицы арифметических действий;

- владение вычислительными приемами;

- связь определенного понятия с тем или иным арифметическим действием;

- непосредственное применение нужного правила;

- выделение различного и сходного;

- выделение какой-либо закономерности на основе наблюдений;

- косвенное применение того или иного правила;

- выяснение причинно-следственных связей.

Каждый вид задания вызывает определенную деятельность учеников. Так, выполнение заданий на запоминание таблиц сложения или умножения основано только на деятельности памяти (ребенок заучивает, например, таблицу сложения и таблицу вычитания в пределах 10 либо запоминает порядок чисел, образующих натуральный ряд, и на этой основе выполняет предложенное ему задание, присчитывая или отсчитывая по одному). Ученик просто припоминает требуемый от него табличный случай.

Задания, в основе выполнения которых лежит владение учеником вычислительным приемом, можно поставить на более высокую ступень. Их выполнение уже не может быть основано на механическом запоминании, так как большое разнообразие, например, случаев сложения и вычитания ученик не в состоянии запомнить. Овладение приемами вычислений требует прежде всего понимания и усвоения разрядного состава числа, на основе чего и строится большинство вычислительных приемов.

Для выполнения заданий на выделение различного и сходного ученик не только должен владеть определенным запасом понятий и терминов, без чего операция сравнения носит формальный характер, когда школьник выделяет только внешнее сходство или различие тех или иных объектов, не только устанавливать те или иные связи, но и проявить наблюдательность, а также проанализировать данные, полученные в процессе наблюдения.

Например, - чем похожи пары выражений: 3+5 и 8-3.

Задания на выявление какой-либо закономерности на основе наблюдений, так же как и задания на выявление различного и сходного, требует от учеников выполнения самых разнохарактерных действий:

владения вычислительными навыками, понятиями, умением наблюдать, анализировать. Но в отличие от заданий предшествующего вида, где ученику прямо указывается способ задания (найти сходное и различное), в заданиях последнего вида такое указание отсутствует. Ученик самостоятельно должен прибегнуть к наблюдению, проанализировать полученные данные и обобщить их.

Например, - как изменяется сумма-17+9=26,17+10=27,17+11=28, 17+12=29.

Чтобы ответить на этот вопрос, ученик должен прибегнуть к сравнению, а только потом найти закономерность.

Анализируя вышерассмотренные виды заданий, можно отметить, что их многообразие основано на постепенном усложнении трудностей, что оказывает положительное влияние на развитие детей.

Одной из форм организации обучения в школе является домашняя работа , которая имеет контролирующее, обучающее и воспитывающее значение. Работая дома, ученики не только закрепляют полученные на уроке знания, совершенствуют умения и навыки, но и приобретают навыки самостоятельной работы, воспитывают в себе организованность, трудолюбие, аккуратность, ответственность за порученное дело.

Задавая задание на дом, учитель руководствуется не тем, чтобы занять ребенка дома. Эффективность домашней работы заключается в ее проверке.

Дело в том, что при выполнении домашней работы учащиеся начальных классов нередко прибегают к помощи родителей. Зачастую задачи и примеры, выполненные ребенком на черновике, проверяются старшими, ошибки исправляются без какого-либо анализа, работа чисто и аккуратно переписывается в тетрадь.

Если учитель при проверке д. з. требует от ребенка лишь воспроизведения того, что написано, то такая работа может подойти. Но чаще всего при проверке учитель дает задание, аналогичное данному. И в этом случае ребенок затрудняется в ответах. Можно предложить детям придумать самим задания для проверки, т. о., у них начинает формироваться способность самостоятельно анализировать то, что они выполняли дома.

Все задания, предложенные для работы дома, чаще всего являются продолжением работы в классе, за исключением тех, которые требуют развитого логического мышления. И если ребенок на уроке был недостаточно внимателен, то их выполнение вызовет у него затруднение.

Возьмем, к примеру, 1 класс. Казалось, что проще, чем сложение и вычитание однозначных чисел? Но ведь еще нужно и правильно оформить запись в тетрадь, соблюдая поля, отступая соответствующее количество клеток между столбиками, в рядах. Следовательно, у ребенка необходимо развивать внимание. Очень часто отсутствие внимания становится серьезным препятствием для развития ребенка: вроде он и эрудированный, и словарный запас у него неплохой, но неумение сосредоточиться, слушать, контролировать себя на разных этапах выполнения задания, ненужная спешка приводят просто к катастрофическим результатам. Особенно слабо организовано внимание у первоклассников, оно имеет небольшой объем, плохо распределяемо, неустойчиво.

Есть внешние признаки, по которым можно судить о том, что ребенок в данный момент за чем-то внимательно следит, что-то пытается понять, выполнить какое-либо задание. Ученик в это время находится в немного напряженной, собранной позе, у него сосредоточенное выражение лица, взгляд устремлен на говорящего.

Важный признак наличия внимания – это быстрое и качественное выполнение учебного задания. Если в классной или домашней работе допущены грубые, иногда нелепые ошибки, то с уверенностью можно сказать, что ребенок при выполнении этого задания был невнимателен.

Как вы знаете, психологи выделяют различные психические процессы такие как мышление, восприятие, память . У этих процессов есть свой собственный продукт деятельности:

в результате восприятия у человека появляется некий образ предмета;

в результате запоминания происходит запечатление предмета, явления.

У внимания же нет продуктов его деятельности. Оно похоже на подсобного рабочего: содействует эффективному протеканию других психических процессов. И получается, что без внимания невозможно успешное выполнение никакого дела.

Как образно сказал педагог К.Д. Ушинский, внимание есть единственная дверь нашей души, через которую непременно проходит все из внешнего мира, что только входит в сознание.

Допустим, внимание вашего ребенка достаточно развито для того, чтобы успешно обучаться в школе. Видя, что ваше чадо усваивает программный материал, вы сбрасываете с себя обязанность проверки выполнения д.з. В первом классе оно носит несколько иной характер. Например, при изучении чисел первого десятка вводится таблица сложения, которую дети должны знать наизусть, а не считать по пальчикам. На этом основан практически весь вычислительный материал. Если ребенок считает слабее, чем его сверстники, помочь ему в этом могут опять же родители. Формирование навыков устного счета ведется из урока в урок с помощью специальных упражнений. Такие упражнения ребята охотно выполняют и вне уроков, в процессе общения с родителями: по дороге, во время выполнения разнообразных совместных домашних дел, на прогулке: назови число, которое больше этого на столько-то, дополни число до 10, 100,округли до десятков 8, 49,и т. д.

Особую трудность у родителей вызывает решение математических задач, которые очень отличаются от их школы. Для того чтобы ребенок смог решить задачу, ему, прежде всего, необходимо понять ее смысл. А для этого нужна хорошая техника чтения, развитием которой следует заниматься сразу же.

Все арифметические задачи делятся на простые (задачи в одно действие) и составные (задачи в два и более действий). Умение решить простую задачу – необходимый навык, без которого невозможно научиться решать составные задачи. Надо прочитать задачу Один-два раза, а иногда и более. Чтение должно быть внимательным, осознанным. При этом необходимо научиться выделять числовые данные и слова, определяющие выбор действия, и подчеркивать это голосом. В вопросе тоже должно быть определено и подчеркнуто голосом главное слово. После чтения надо кратко записать условие задачи или сделать к ней чертеж. (пример)

При решении задачи ребенок должен уметь объяснить, как получен ответ, почему для решения задачи выбрано именно данное арифметическое действие, а не другое.

Предложите ребенку проверить задачу; для этого пусть он сопоставит условие задачи с тем, что получилось в результате ее решения. Особого внимания заслуживает и кругозор ребенка – например, в ответе получается, что пешеход движется со скоростью, равной скорости автомобиля.

При решении составных задач рассуждать надо следующим образом.

1. Постановка вопроса к условию простой задачи.

2. Дополнение недостающего числового данного в условие простой задачи.

3. Подбор необходимых данных для ответа на предложенный вопрос.

4. Решение задачи с двумя вопросами.

Для преодоления возможных затруднений в решении составных задач целесообразно использовать чертеж, рисунки, краткую запись.

Конечно, помощь каждому ребенку нужна индивидуальная. Особо западные темы вам подскажет учитель, замечания которого следует выслушивать внимательно. Фраза «мой ребенок дома делает все, а здесь не может» порой лишена всякого смысла, так как еще ни один ученик не проявил желания выглядеть довольно серо на фоне своих одноклассников. Не справляется с заданием в том случае, когда понятия не имеет, как его выполнять.

В настоящее время в помощь и учителям, и родителям предоставлено много тетрадей на печатной основе, в которых дети работают с увлечением, так как задания разнообразны, требуют порой только записи ответов, раскрашивания и т.д.

Психологами выявлены возможные психологические причины испытывания младшими школьниками трудностей при решении математических задач:

1. Низкий уровень развития общего интеллекта.

2. Слабое понимание грамматических конструкций.

3. Несформированность умения ориентироваться на систему признаков

4. Низкий уровень развития образного мышления.

5. Другие психологические причины.

А.Ф. Ануфриев. Как преодолеть трудности в обучении детей.

Задания, вызывающие особые затрудненияу детей:

1. Написание цифр.

Все цифры имеют «опору» - боковую стенку клетки. Написание начинают из правого верхнего угла в середину нижней строки.

2. Построение геометрических фигур: линии, отрезка, лучей и т.д.

3. Нахождение закономерностей

(с.59, №1141, 3, 2, 4, 3, 5, …..

1, 2, 3, 4,…

9, 7, 5, …

Чтобы объяснить, откуда в человеке развилась способность к математическим операциям, специалисты предлагали две гипотезы . Одна из них заключалась в том, что склонность к математике является побочным эффектом появления языка и речи. Другая предполагала, что причиной явилась возможность использовать интуитивное понимание пространства и времени, которое имеет куда более древнее эволюционное происхождение.

Для того чтобы ответить на вопрос, какая из гипотез верна, психологи поставили эксперимент с участием 15 профессиональных математиков и 15 обычных людей с равным уровнем образования. Каждой группе представляли сложные математические и нематематические утверждения, которые нужно было оценить как истинные, ложные или бессмысленные. По ходу эксперимента мозг участников сканировали с помощью функциональной томографии.

Результаты исследования показали, что заявления, которые касались математического анализа, алгебры, геометрии и топологии, активировали участки в теменной, нижневисочной и префронтальной коре головного мозга у математиков, но не у контрольной группы. Эти зоны отличались от тех, что возбуждались у всех участников эксперимента при обычных утверждениях. «Математические» участки активировались у обычных людей только в том случае, если испытуемым предлагали проделать простые арифметические действия.

Ученые объясняют полученный результат тем, что математическое мышление высокого уровня задействует нейронную сеть, которая отвечает за восприятие чисел, пространства и времени и отличается от сети, связанной с языком . По словам экспертов, на основе исследования можно предсказать, разовьются ли у ребенка математические способности, если оценить его навыки пространственного мышления.

Таким образом, чтобы стать математиком нужно развивать пространственное мышление.

Что представляет из себя пространственное мышление

Для решения огромного количества задач из тех, что ставит перед нами наша цивилизация, необходим особый вид мыслительной деятельности - пространственное мышление. Термин пространственное воображение, обозначает человеческую способность четко представлять трехмерные объекты в деталях и цветовом исполнении.

При помощи пространственного мышления можно проводить манипуляции с пространственными структурами - настоящими или воображаемыми, анализировать пространственные свойства и отношения, трансформировать исходные структуры и создавать новые. В психологии восприятия давно уже известно, что изначально зачатками пространственного мышления обладает всего несколько процентов населения.

Пространственное мышление - это специфический вид мыслительной деятельности, которая имеет место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображённом). В своих наиболее развитых формах это мышление образцами, в которых фиксируются пространственные свойства и отношения.

Как развить пространственное мышление

Упражнения на развитие пространственного мышления очень полезны в любом возрасте. Поначалу многие люди испытывают затруднения при их выполнении, но со временем обретают способность решать все более сложные задачи. Такие упражнения обеспечивают нормальное функционирование головного мозга, позволяют избежать многих заболеваний, вызванных недостаточным уровнем работы нейронов коры полушарий.

Дети с развитым пространственным мышлением часто преуспевают не только в геометрии, черчении, химии и физике, но и в литературе! Пространственное мышление позволяет создавать в голове целые динамические картины, своего рода кинофильм, основанные на прочитанном отрывке текста. Такая способность существенно облегчает анализирование художественной литературы и позволяет сделать процесс чтения намного более интересным. И, конечно же, пространственное мышление незаменимо на уроках рисования и труда.

С развитым пространственным мышлением становится гораздо легче читать чертежи и карты, определять местонахождение и представлять схему движения к цели. Это просто необходимо любителям спортивного ориентирования, а всем остальным существенно поможет в обычной жизни в условиях города.

Пространственное мышление развивается с раннего детства, когда ребенок начинает совершать свои первые движения. Его формирование проходит несколько этапов и заканчивается, примерно, в подростковом возрасте. Однако в течение жизни возможно его доразвитие и преобразование. Проверить уровень развития пространственного мышления можно с помощью небольшого интерактивного теста .

Выделяют три типа такого оперирования:

Изменение пространственного положения образа. Человек мысленно может передвинуть объект без каких-либо изменений его внешнего вида. Например, передвижения согласно карте, мысленное переставление объектов в комнате, перечерчивание и т.д.
Изменение структуры образа . Человек может мысленно каким-либо образом изменить объект, но при этом он остается неподвижным. Например, мысленное добавление одной фигуры к другой и их объединение, представление того, как будет выглядеть объект, если добавить к нему деталь, и пр.
Одновременное изменение и положения, и структуры образа . Человек способен одновременно представить изменения во внешнем облике и пространственном положении предмета. Например, мысленное вращение объемной фигуры с разными сторонами, представление о том, как будет выглядеть такая фигура с той или другой стороны, и др.

Третий тип является наиболее совершенным и предоставляет больше возможностей. Однако для его достижения необходимо сначала хорошо освоить первые два типа оперирования. Представленные ниже упражнения и советы будут направлены на развитие в целом пространственного мышления и всех трех типов действий.

3D пазлы и оригами

Складывание объемных пазлов и фигурок из бумаги позволяет формировать в голове образы различных объектов. Ведь перед началом работы следует представить готовую фигуру, чтобы определить качество и порядок действий. Складывание может проходить в несколько этапов:

Повторение действий за кем-то
Работа в соответствии с инструкцией
Складывание фигуры с частичной опорой на инструкцию
Самостоятельная работа без опоры на материал (может осуществляться не сразу, а после нескольких повторений предыдущих этапов)

Важно, чтобы школьник четко прослеживал каждое действие и запоминал его. Вместо пазлов можно также использовать обычный конструктор.

Делятся на два типа:

С использованием наглядного материала. Для этого необходимо иметь несколько заготовок различных объемных геометрических фигур: конус, цилиндр, куб, пирамида и др. Задача: изучить фигуры; узнать, как они выглядят с различных ракурсов; накладывать фигуры друг на друга и смотреть, что получается и т.д.
Без использования наглядного материала . Если школьник хорошо знаком с различными объемными геометрическими фигурами и хорошо представляет, как они выглядят, то задания переносятся в мысленный план. Задача: описать, как выглядит та или иная фигура; назвать каждую ее сторону; представить, что будет при наложении одной фигуры на другую; сказать, какое действие нужно осуществить с фигурой, чтобы превратить ее в другую (например, как превратить параллелепипед в куб) и пр.

Перечерчивание (копирование)

Задания этого типа идут по нарастанию сложности:

Простое перечерчивание фигуры. Перед учеником стоит макет/образец фигуры, который ему необходимо перенести на бумагу без изменений (размеры и внешний вид должны совпадать). Перечерчивается отдельно каждая сторона фигуры.
Копирование с добавлением. Задача: перечертить фигуру без изменений и добавить к ней: 5 см в длину, дополнительную грань, другую фигуру и т.п.
Масштабируемое перечерчивание. Задача: скопировать фигуру с изменением ее размера, т.е. начертить в 2 раза больше чем макет, в 5 раз меньше чем образец, убавив на 3 см каждую сторону и т.д.
Копирование из представления. Задача: представить объемную фигуру и нарисовать ее с разных сторон.

Представления

В качестве объектов представления будут выступать отрезки и линии. Задачи могут быть самыми разнообразными, например:

Представь три разнонаправленных отрезка, мысленно соедини их и нарисуй, получившуюся фигуру.
Представь, что на два отрезка наложили треугольник. Что получилось?
Представь две сближающиеся линии. В каком месте они пересекутся?

Составление чертежей и схем

Могут осуществляться с опорой на наглядный материал или с опорой на представляемые объекты. Составлять чертежи, схемы и планы можно по любому предмету. Например, план комнаты с отображением расположения каждой вещи в ней, схематическое изображение цветка, чертеж здания и пр.

Игра «Угадай на ощупь»

Ребенок закрывает в глаза и получает какой-то предмет, который может ощупать. Объект должен иметь такие размеры, чтобы школьник имел возможность изучить его целиком. На это отводится определенное количество времени в зависимости от возраста ученика и объема предмета (15-90 секунд). По истечении этого времени ребенок должен сказать, что именно это было и почему он так решил.

Также в игре можно использовать разные виды ткани, схожие по форме фрукты (яблоки, нектарины, апельсины, персики), нестандартные геометрические фигуры и другое.

Игра «Муха в клетке»

Для этой игры потребуется не менее трех человек. Два непосредственно участвуют в игре, а третий отслеживает ее ход и проверяет конечный ответ.

Правила: два участника представляют решетку 9 на 9 квадратов (пользоваться графическим изображением нельзя!). В правом верхнем углу находится муха. По очереди делая ходы, игроки перемещают муху по квадратам. Можно использовать обозначения движения (вправо, влево, вверх, вниз) и число клеток. Например, муха передвигается на три клетки вверх. Третий участник имеет графическую схему решетки и обозначает каждый ход (каждое перемещение мухи). Далее он говорит «Стоп» и другие игроки должны сказать, где, по их мнению, находится муха в данный момент. Выигрывает тот, кто правильно назвал квадрат, где остановилась муха (проверяется по схеме, которую составил третий участник).

Игру можно усложнить, добавив количество клеток в решетку или такой параметр, как глубину (сделав решетку трехмерной).

Графические задания-тренажеры

Выполняются на глаз без использования каких-либо вспомогательных предметов (линейки, ручки, циркуля и т.д.).

1. На какую отметку должен переместиться человек, чтобы падающее дерево не задело его?

2. Какая (какие) из фигур сможет (смогут) пройти между объектом А и объектом Б?

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

3. Представь, что овалы на картинке - это машины. Какая из них раньше окажется на перекрестке, если скорость передвижения машин равна?

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

4. Восстанови часть фигуры, которую закрыла линейка.

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

5. Определи, куда упадет шар.

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

«Без математического воспитания и образования невозможно ни понять прогресс нашей эпохи, ни принять в нём участие», - говорила Мария Монтессори. И она, безусловно, права. Математика окружает нас повсюду. И математика - это не только счёт. Это логика, осознание пространства и времени, умение анализировать. Без математики нет даже поэзии и музыки. Математическое мышление природой заложено в человеке. Задача родителей - помочь ребёнку раскрыть его в полной мере.

Когда начинать развитие математических способностей у детей

На самом деле, мы начинаем его, сами того не замечая. Малыш ещё даже не умеет сидеть, а мама уже играет с ним в прятки: прячется за шторкой, а потом появляется с задорным «Ку-ку». Малыш смеётся и одновременно постигает закон постоянства объектов. Мама прячется, но она никуда не исчезает. И это уже вполне математический закон.

Мама сервирует стол к ужину на 5 человек. К каждой тарелке кладёт вилку. Наблюдающий 2-летний малыш обязательно возмутится, если увидит, что мама кого-то «обделила». Сколько тарелок – столько должно быть и приборов.

А сколько пальчиковых игр начинаются на «раз, два, три, четыре, пять…»!

Предлагая многие игры, мамы даже не задумываются, что занимаются математикой.

Какими должны быть первые математические игры

Не торопитесь учить ребёнка счёту. В 2-3 года ему вовсе не нужны эти знания. Можно ненавязчиво считать что-то в игре: сколько ступенек до дома преодолел малыш, сколько камушков сложил в ведёрко, сколько пальчиков на его ладошке. С цифрами начинайте знакомство позже. Ребёнок ещё не готов к восприятию знаковых систем. Акцентируя внимание на этом, можно упустить что-то более важное в его развитии. До 3-4 лет главное - это эмоциональное и сенсорное развитие.

Познавайте математику, читая, рисуя, играя в ролевые игры.

Книги для развития математических способностей ребёнка

Очень многие книги, начиная с самых первых сказок, помогают развивать математические способности. Перечислим несколько.

«Теремок» . Персонажи в сказке появляются от самого маленького (мышки) до самого большого (медведя). Вырежьте фигурки животных и инсценируйте сказку с ребёнком. Пусть он расставит правильную последовательность заселения в теремок. Или спрячьте одну из фигурок, предложив малышу отгадать, кого не хватает. Или добавьте персонажа, которого нет в повествовании. А мылыш пусть определит, кто лишний. Всё это способствует развитию логики и математического мышления.
«Репка» . Здесь персонажи появляются, наоборот, от большого (дед) к маленькому (мышка). Поиграйте в те же игры, что и с «Теремком». А можно сделать вверху каждой фигурки дырочки дыроколом и нанизывать героев на шнурок вслед за репкой в нужном порядке. Развиваем и математические способности, и моторику.
«Три медведя» . Это, пожалуй, самая математическая сказка. Слушая сказку, ребёнок знакомится с понятиями «большой», «маленький», «средний», учится их соотносить. Ну и счёт до трёх здесь вполне можно освоить в непринуждённой форме.
А.Прёйсен «Козлёнок, который умел считать до десяти». С этой забавной и поучительной историей малыш легко освоит счёт до десяти.

Начните с геометрии

Многие родители часто теряются в раздумьях, с чего начинать занятия математикой с ребёнком. Начните с изучения геометрических фигур.

Поиграйте с геометрическим сортером, побуждая ребёнка найти для определённой геометрической фигурки нужное отверстие. Используйте фигурки от сортера для других игр. Например, лепите из них куличики из кинетического песка. Или используйте в качестве формочки для пластилина. Сделайте из фигурок геометрическое лото. Обведите их на листе бумаги, а малыш пусть подберёт к нарисованным фигурам объёмные пары.

Сформируйте на листе бумаги контур геометрической фигуры пластилином, а ребёнок пусть раскрасит. Вряд ли у него получится выйти фломастером за границы объёмного контура.

Ищите дома и на улице предметы разных геометрических форм.

В раннем возрасте математику нужно «трогать»

Тактильный опыт очень важен для ребёнка. Намного эффективнее донести что-то до малыша не демонстрацией карточек и проговариванием информации, а побуждая притронуться к объекту изучения, повозиться с исследуемым материалом.

Об этом говорила ещё М.Монтессори, предлагая осваивать знаковую систему счёта с помощью шершавых цифр. Проводя пальчиком по шершавым цифрам, ребёнок легче запоминает их написание и быстрее сможет воспроизвести цифры на бумаге.

Для изучения геометрических фигур используйте рамки-вкладыши, сортеры, объёмные фигурки. Предложите ребёнку порисовать геометрические фигуры на подносе с манкой или на световом песочном столе. С 2 лет можно использовать для игр блоки Дьенеша и палочки Кюизинера.

Для изучения понятий «большой-маленький» и соотношения «больше-меньше» отлично подойдут матрёшки.
А для занятий на определение «часть-целое» предложите ребёнку пазлы. Начинайте с самых простых: из двух частей. Пусть малыш освоит понятие «половинки». Для этого можете использовать и самые обыкновенные фрукты. Разрежьте яблоко, банан и грушу на половинки и предложите ребёнку «склеить» кусочки в целый фрукт.

Калькуляторы могут быть удивительно полезными, но они не всегда под рукой. К тому же не всем удобно доставать калькуляторы или телефоны, чтобы подсчитать, сколько нужно заплатить в ресторане, или вычислить размер чаевых. Вот десять подсказок, которые могут помочь вам произвести все эти подсчеты в уме. На самом деле это совсем не сложно, особенно если запомнить несколько простых правил.

Прибавляйте и вычитайте слева направо

Помните, как в школе нас учили прибавлять и вычитать в столбик справа налево? Это сложение и вычитание удобно, когда под рукой карандаш и листок бумаги, но в уме эти математические действия легче выполнить, считая слева направо. В числе слева расположена цифра, определяющая большие ценности, например сотни и десятки, а справа меньшие, то есть единицы. Слева направо считать интуитивнее. Таким образом, прибавляя 58 и 26, начните с первых цифр, сначала 50 + 20 = 70, потом 8 + 6 = 14, затем сложите оба результата - и получите 84. Легко и просто.

Облегчите себе задачу

Если вы столкнулись со сложным примером или задачей, попытайтесь найти способ упростить ее, например, добавить или отнять определенное число, чтобы сделать общее вычисление проще. Если, например, вам нужно посчитать, сколько будет 593 + 680, сначала прибавьте 7 к 593, чтобы получить более удобное число 600. Вычислите, сколько будет 600 + 680, а затем от полученного результата 1280 отнимите те же 7, чтобы получить правильный ответ - 1273.

Подобным образом можно поступать и с умножением. Чтобы умножить 89 x 6, вычислите, сколько будет 90 x 6, а затем отнимите оставшиеся 1 х 6. Таким образом, 540 - 6 = 534.

Запомните стандартные блоки

Запоминание таблиц умножения является важной и нужной частью математики, которая отлично помогает решать примеры в уме.

Запоминая основные «стандартные блоки» математики, такие как таблица умножения, квадратные корни, процентные соотношения десятичных и обыкновенных дробей, мы можем немедленно получить ответы на простые задачи, спрятанные в более трудных.

Помните полезные уловки

Чтобы быстрее справиться с умножением, важно помнить несколько простых уловок. Одно из самых очевидных правил - умножение на 10, то есть просто добавление ноля к умножаемому числу или перенос запятой на один десятичный показатель. При умножении на 5, ответ будет всегда заканчиваться цифрой 0 или 5.

Кроме того, умножая число на 12, сначала умножьте его на 10, а потом на 2, затем прибавьте результаты. Например, вычисляя 12 x 4, сначала умножьте 4 x 10 = 40, а затем 4 x 2 = 8, и прибавьте 40 + 8 = 48. Умножая на 15, просто умножьте число на 10, и затем прибавьте еще половину полученного, например, 4 x 15 = 4 x 10 = 40, плюс еще половина (20), получается 60.

Есть также хитрая уловка для умножения на 16. Во-первых, умножьте рассматриваемое число на 10, а затем умножьте половину числа на 10. После прибавьте оба результата к числу, чтобы получить окончательный ответ. Таким образом, чтобы вычислить 16 x 24, сначала вычислите 10 x 24 = 240, затем половину 24, то есть 12, умножьте на 10 и получите 120. И последний шаг: 240 + 120 + 24 = 384.

Квадраты и их корни очень полезны

Почти как таблица умножения. И помочь они могут с умножением более крупных чисел. Квадрат получается при умножении числа на само себя. Вот как работает умножение с использованием квадратов.

Давайте предположим на мгновение, что мы не знаем ответ на 10 x 4. Сначала выясняем среднее число между этими двумя числами, оно равно 7 (т. е. 10 - 3 = 7, и 4 + 3=7, при этом различие между средним числом равно 3 - это важно).

Затем определяем квадрат 7, который равен 49. У нас теперь есть число, близкое к финальному ответу, но оно не достаточно близко. Чтобы получить правильный ответ, возвращаемся к различию между средним числом (в этом случае 3), его квадрат дает нам 9. Последний шаг включает в себя простое вычитание, 49 - 9 = 40, теперь у вас есть правильный ответ.

Это похоже на окольный и чересчур сложный способ вычислить, сколько же будет 10 x 4, но та же самая техника прекрасно работает и для больших чисел. Возьмем, например, 15 x 11. Сначала мы должны найти среднее число между этими двумя (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13). Квадрат 13 равен 169. Квадрат различия среднего числа 2 равен 4. Получаем 169 - 4 = 165, вот и правильный ответ.

Иногда достаточно и приблизительного ответа

Если вы пытаетесь решить сложные задачи в уме, неудивительно, что на это уходит немало времени и усилий. Если вам не нужен абсолютно точный ответ, возможно, достаточно будет подсчитать приблизительное число.

То же самое касается и задач, в условиях которых вам не известны все точные данные. Например, во время Манхэттенского проекта физик Энрико Ферми хотел примерно подсчитать силу атомного взрыва, прежде чем ученые получат точные данные. С этой целью он набросал бумажных обрывков на пол и следил за ними с безопасного расстояния, в тот момент, когда до бумажек дошла взрывная волна. Измерив расстояние, на которое сдвинулись обрывки, он предположил, что сила взрыва составила приблизительно 10 килотонн в тротиловом эквиваленте. Эта оценка оказалась довольно точна для предположения навскидку.

К счастью, нам не приходится регулярно оценивать приблизительную силу атомных взрывов, однако приблизительные подсчеты не повредят, если, например, вам нужно предположить, сколько в городе настройщиков фортепиано. Для этого проще всего оперировать числами, которые просто делить и умножать. Таким образом, сначала вы оцениваете население своего города (например, сто тысяч человек), затем оцениваете предположительное число фортепьяно (скажем, десять тысяч), ну и затем количество настройщиков фортепьяно (например, 100). Вы не получите точный ответ, но сумеете быстро предположить приблизительное количество.

Перестраивайте примеры

Основные правила математики помогают перестроить сложные примеры в более простые. Например, вычисление в уме примера 5 x (14 + 43) кажется грандиозной и даже непосильной задачей, но пример можно «разломить» на три довольно несложных вычисления. Например, эта непосильная задача может быть перестроена следующим образом: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Не так уж и сложно, правда?

Упрощайте задачи

Если задача кажется сложной, упростите ее. Всегда проще справиться с несколькими простыми заданиями, чем с одним сложным. Решение многих сложных примеров в уме заключается в умении правильно разделить их на более простые примеры, решение которых не составляет труда.

Например, умножать на 8 проще всего, удваивая число три раза. Таким образом, вместо того, чтобы пытаться решить, сколько будет 12 x 8 традиционным способом, просто удвойте 12 три раза: 12 х 2 = 24, 24 х 2 = 48, 48 х 2 = 96.

Или умножая на 5, сначала умножайте на 10, так как это легко, затем разделите результат на 2, так как это также довольно легко. Например, для решения 5 x 18, вычислите 10 x 18 и разделите на 2, где 180: 2 = 90.

Пользуйтесь возведением в степень

Вычисляя большие суммы в уме, помните, что вы можете преобразовать их в более мелкие числа, умноженные на 10 в нужной степени. Например, сколько получится, если 44 миллиарда разделить на 400 тысяч? Простой способ решить эту задачу состоит в том, чтобы преобразовать 44 миллиарда в следующее число - 44 х 10 9 , а из 400 тысяч сделать 4 х 10 5 . Теперь мы можем преобразовать задачу следующим образом: 44: 4 и 10 9: 10 5 . Согласно математическим правилам, все это выглядит так: 44: 4 х 10(9-5), таким образом, мы получаем 11 x 10 4 = 110,000.

Самый простой способ вычислить необходимые чаевые

Математика необходима даже во время ужина в ресторане, точнее после него. В зависимости от заведения, размер чаевых может составлять от 10% до 20% от стоимости счета. Например, в США принято оставлять на чай официантам 15%. И там, как и во многих европейских странах, чаевые обязательны.

Если вычислить 10% от общей суммы сравнительно легко (просто разделите сумму на 10), то с 15 и с 20% дело, кажется, обстоит сложнее. Но на самом деле, все так же просто и очень логично.

Вычисляя 10-процентные чаевые за ужин, который обошелся в 112,23 доллара, просто переместите десятичную точку влево на одну цифру, получится 11,22 $. Вычисляя 20-процентные чаевые, сделайте то же самое, и просто удвойте полученную сумму (20% просто в два раза больше 10%), в этом случае чаевые составят 22,44 $.

Для 15-процентных чаевых сначала определите 10% от суммы, а затем добавьте половину полученной суммы (дополнительные 5% - это половина 10-процентной суммы). Не волнуйтесь, если не можете получить точный ответ, до последнего цента. Если не заморачиваться слишком сильно с десятичными знаками, мы можем быстро вычислить, что 15-процентные чаевые от суммы 112,23 $ составляют 11 + 5,50 $, что дает нам 16,50 $. Достаточно точно. Если вы не хотите обидеть официанта, недосчитав нескольких центов, округлите сумму до целого числа и заплатите 17 долларов.