Naizmjenični redovi. Leibnizov test

Definicija 1

Brojevni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, čiji članovi imaju proizvoljne predznake (+), (?), naziva se naizmjenični niz.

Naizmjenični nizovi koji su gore razmatrani su poseban slučaj naizmjeničnog niza; Jasno je da nije svaka naizmjenična serija naizmjenična. Na primjer, serija $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ naizmjenični, ali ne naizmjenični niz.

Imajte na umu da u naizmjeničnom nizu postoji beskonačno mnogo pojmova sa znakom (+) i znakom (-). Ako to nije tačno, na primjer, niz sadrži konačan broj negativnih članova, onda se oni mogu odbaciti i uzeti u obzir niz sastavljen samo od pozitivnih članova, i obrnuto.

Definicija 2

Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i njegov zbir je jednak S, a parcijalni zbir jednak $S_n$, tada je $r_(n ) =S-S_( n) $ se naziva ostatak niza, a $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ do \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, tj. ostatak konvergentnog niza teži 0.

Definicija 3

Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ naziva se apsolutno konvergentnim ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\lijevo|u_(n) \desno| $.

Definicija 4

Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira, a niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\desno| $, sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova, divergira, tada se originalni niz naziva uslovno (ne-apsolutno) konvergentnim.

Teorema 1 (dovoljan kriterij za konvergenciju naizmjeničnih redova)

Naizmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira, i apsolutno, ako niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\lijevo|u_(n) \desno| $.

Komentar

Teorema 1 daje samo dovoljan uslov za konvergenciju naizmjeničnih redova. Obratna teorema nije tačna, tj. ako naizmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira, onda nije neophodno da niz sastavljen od modula $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\lijevo|u_(n) \desno| $ (može biti ili konvergentan ili divergentan). Na primjer, serija $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergira prema Leibnizovom kriteriju, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonijski niz) divergira.

Nekretnina 1

Ako je niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergentan, tada konvergira apsolutno za bilo koju permutaciju svojih članova, a zbir niza ne zavisi od redosled uslova. Ako je $S"$ zbir svih njegovih pozitivnih članova, a $S""$ zbir svih apsolutnih vrijednosti negativnih članova, tada je zbir niza $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ je jednako $S=S"-S""$.

Nekretnina 2

Ako je niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergentan i $C=(\rm const)$, tada je niz $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ je također apsolutno konvergentan.

Nekretnina 3

Ako su nizovi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ i $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ apsolutno konvergentni, tada su nizovi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ također apsolutno konvergentni.

Svojstvo 4 (Riemannova teorema)

Ako je niz uslovno konvergentan, onda bez obzira koji broj A uzmemo, možemo preurediti članove ovog niza tako da se ispostavi da je njegov zbir tačno jednak A; Štaviše, moguće je preurediti članove uslovno konvergentnog niza tako da nakon toga on divergira.

Primjer 1

Ispitajte niz za uslovnu i apsolutnu konvergenciju

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Rješenje. Ovaj niz je naizmjeničan, čiji će opći pojam biti označen sa: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Primjer 2

Ispitajte niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za apsolutnu i uslovnu konvergenciju.

Hajde da ispitamo seriju za apsolutnu konvergenciju. Označimo $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ i sastavimo niz apsolutnih vrijednosti $a_(n) =\ lijevo|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Dobijamo niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ sa pozitivnim članovima, na koje primjenjujemo ograničavajući kriterij za poređenje serija. Za poređenje sa nizom $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ razmotriti niz koji ima oblik $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ovaj niz je Dirichletov niz s eksponentom $p=\frac(1)(2)
Zatim, ispitujemo originalni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za uslovne konvergencija. Da bismo to učinili, provjeravamo ispunjenost uslova Leibnizovog testa. Uslov 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, gdje je $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. ova serija je naizmjenična. Za provjeru uvjeta 2) o monotonom opadanju članova niza koristimo sljedeću metodu. Razmotrite pomoćnu funkciju $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definiranu na $x\in )