Asimetrija: normalna ili patološka? Kako face building može pomoći da vaše lice postane simetričnije? Simetrično lice je zastrašujuće.

Od davnina ljudi su na razne načine pokušavali pogledati u budućnost i saznati datum svoje smrti. Neki su se okrenuli kartama, drugi su otišli vidovnjacima, hiromantima, astrolozima i drugim majstorima okultnih nauka. Ali niko od njih nije mogao dati stopostotna predviđanja. Dakle, informacije koje se navodno obelodanjuju "formula smrti", postao je kandidat za pravu senzaciju.

PEČAT SMRTI

Profesor Evgenij Černosvitov Već dugi niz godina skuplja posmrtne maske velikih ljudi, što je poslužilo kao poticaj za zapanjujuće otkriće - nakon smrti, lica ljudi postaju apsolutno simetrična.

Obrativši pažnju na simetriju posmrtnih maski, profesor je odlučio da testira svoja nagađanja na fotografijama običnih ljudi. Da bi to učinio, postavio je dvosmjerno ogledalo u središte fotografije osobe tako da je podijelilo sliku na pola okomito. I vidjelo se lice koje se sastoji od dvije desne i dvije lijeve polovine (na fotografiji i u ogledalu).

Kako se ispostavilo, ovaj "mozaik" se značajno razlikuje od originala. A „desno“ lice se veoma razlikuje od „levog“. Ponovivši svoj eksperiment sa fotografijama iste osobe snimljene u različitim periodima njegovog života, Černosvitov je uočio određeni trend.

Ako su lica mladih i zdravih ljudi imala dobro definiranu asimetriju, onda se s godinama ona izgladila, a promjene su se dogodile u geometrijskoj progresiji. Što je čovjekova smrt bliža, to je njegovo lice postajalo simetričnije. Profesor uvjerava da je na osnovu toga izveo određenu formulu koja omogućava da se izračuna tačan životni vijek svakoga. Ali on to drži u tajnosti.

Svojevremeno, radeći kao forenzičar, Evgenij Vasiljevič je imao priliku da u praksi provjeri ispravnost svoje teorije. Vidio je tijela sa potpuno zdravim organima, a uzrok smrti je ostao nejasan. Ili, naprotiv, tokom obdukcije je otkriveno da je osoba skoro živa istrunula i da je već nekoliko godina daleko od smrti, ali nije umrla od bolesti. Njegovo vrijeme je upravo došlo.

Na prvi pogled sve ovo izgleda kao još jedna senzacionalna fikcija, ali neki stvarni događaji natjeraju vas da povjerujete u “formulu smrti”.

Jednog dana profesor je održao predavanje zaposlenima jedne od kolonija na Altaju. Slušatelji su sa entuzijazmom eksperimentisali sa njihovim fotografijama i ogledalima. Nakon predavanja prišao mu je jedan od stražara. Mladić je bio uznemiren i zbunjen.

Kako se ispostavilo, njegovo lice je bilo savršeno simetrično. Černosvitov je, ponovo provjeravajući fotografiju čuvara, shvatio da nije pogriješio. I pokušao je nekako utješiti tipa, govoreći da je sve to samo teorija.

Profesor je otišao, a nekoliko sati kasnije mu je saopšteno da ga je, čim je stražar napustio salu u kojoj se održavalo predavanje, jedan od zatvorenika napao i smrtno ranio domaćim nožem. Formula je uspjela!

Ako osoba umre od bolesti i njegovo lice dobije simetriju prije smrti, onda se to još nekako može objasniti sa fiziološke tačke gledišta. Ali slučaj zaštitara ilustruje da formula funkcioniše bez obzira da li je smrt prirodna ili slučajna. To znači da je simetrija pokazatelj svake smrti. Ispada da je sudbina osobe unaprijed određena?

IZMEĐU PROŠLOSTI I BUDUĆNOSTI

Poznato je da hemisfere ljudskog mozga obavljaju određene funkcije. Na primjer, ljevica je odgovorna za ljudsko ponašanje i „gleda“ u budućnost, predviđajući posljedice određene akcije. A desnica, koja je odgovorna za emocije i osjećaje, traži načine rješavanja problema u prošlosti, analizirajući slične situacije koje su se čovjeku već dogodile. Sadašnjost se, prema profesoru, nalazi tačno u sredini.

Prošlost i budućnost ogledaju se na dvije strane ljudskog lica. Jedan ima više iskustva, a drugi više nade u budućnost, otuda i asimetrija. Kada čovjek umre, razlike nestaju, on ostaje zauvijek u sadašnjosti i odlazi u drugi svijet sa „jednim“ licem, koje je utisnuto na simetričnoj posmrtnoj maski.

UPOZORENO JE NAORUŽAN?

Činilo bi se tako jednostavno: imajući fotografije iz različitih godina, svako može odrediti datum svog odlaska. Zapravo to nije istina. Sama formula postoji, ali još ne postoje kompjuterski programi koji bi mogli izvršiti ispravan proračun. Međutim, Chernosvitov tvrdi da ručno formula radi sa stopostotnom preciznošću.

Međutim, nepoznato je kakve društvene posljedice treba očekivati ​​ako svako može saznati na koliko godina je njegovo tijelo programirano. Na kraju krajeva, kod većine ljudi mogućnost takvog saznanja izaziva panični užas i može pretvoriti ostatak života u mučenje uz očekivanje smrti. Osim ako takve informacije o životnoj rezervi mogu biti korisne liječnicima pri propisivanju kursa liječenja teško bolesnih pacijenata.

Inače, mnogi vidovnjaci, gatare, čarobnjaci i vidovnjaci koriste svoju sposobnost da uhvate osobenosti ljudske asimetrije u predviđanju budućnosti. Dakle, u Moskvi živi i radi prilično poznati slikar portreta, koji može prikazati osobu kakva će biti za nekoliko godina. Umjetnik ne zna za “formulu smrti”, ali iz nekog razloga odbija neke ljude uz obrazloženje da ih “ne vidi u ovim godinama”.

Ali zbirka Evgenija Vasiljeviča i otkriće povezano s njom omogućilo mu je da izvuče neke vrlo zanimljive zaključke. Na primjer, kada je pažljivo proučavao posmrtne maske velikih ljudi, utvrdio je da su samo Suvorov i Dostojevski zaista mrtvi kada im je skinut gips s lica, a ostali su bili u fazi kliničke smrti.

Profesor smatra da skoro svi prolaze kroz ovu fazu kada se nalaze između bića i nebića, premišljajući svoj put i opraštajući se od ovozemaljskog života. A ako je na licu pokojnika izraz mira, onda je on zadovoljan rezultatima svog života.

OVO JE KRAJ PRIČE

Kao i svaka teorija koja nije potvrđena od nauke, "formula smrti" ima svoje pristalice i protivnike. Doktori i naučnici nalaze svoje objašnjenje za fenomen asimetrije.

Doktor tehničkih i psiholoških nauka, akademik Ruske akademije prirodnih nauka Anuašvili, na osnovu svog iskustva, uvjerava da ljudi ne samo da se ne rađaju uvijek sa asimetričnim licem, već imaju sve šanse da iz nekog razloga steknu asimetriju u starosti. .

Na primjer, kod upale trigeminalnog živca ili nakon moždanog udara, kada je poremećena ravnoteža mišićnog tonusa s jedne strane. A proporcije lica se mogu mijenjati tokom života u zavisnosti od naslijeđa i uslova života.

Aleksandar Dubrov, profesor, doktor bioloških nauka, kaže gotovo istu stvar: „Starenje organizma povezano je sa bioritmima, brzinom metaboličkih procesa, životnim vekom različitih ćelija (krvi, limfe, hormona, epitelnog i koštanog tkiva). , itd.).

A oni, zauzvrat, ovise o razlikama u aktivnosti lijeve i desne hemisfere mozga. U ovoj asimetriji, po mom mišljenju, leži odgovor na ono što je otkrio profesor E.V. Čim se morfološka asimetrija svojstvena osobi promijeni ili nestane, dolazi do degradacije i smrti.”

Jurij Rogov, šef katedre za patološku anatomiju Bjeloruske medicinske akademije, naziva Černosvitovu teoriju nesigurnom. Po njegovom mišljenju, simetrija o kojoj govori autor teorije je približan pojam, a tačnijom analizom prisustvo asimetrije se ipak može otkriti.

Što se tiče same „formule smrti“, doktor medicinskih nauka Oleg Zlobin predlaže da se proračuni na genetskom nivou, analiziraju nasljedne bolesti i očekivani životni vijek predaka.

Šta god da je istina, “formula smrti” je od velikog interesa. Možda se to može nazvati "teorijom maske". Svako od nas je rođen bez maske. Stavljamo ga tek na prvim bljeskovima samosvijesti, odnosno u drugoj godini života.

A onda ga mijenjamo ovisno o emocijama, raspoloženju i drugim okolnostima. Smrt uklanja svu ovu ljusku sa ljudskog lica kada svest izbledi. Ostaje jedna maska ​​- posmrtna, koja izražava, prema Evgeniju Černosvitovu, duhovnu simetriju.

LIČNA STVAR

Evgeniy CHERNOSVITOV- Profesor, međunarodni stručnjak za socijalnu medicinu. Konsultuje naučne centre u Londonu, Dablinu, Lionu, član je Prezidijuma Kriminološkog saveta (Lübeck, Nemačka). Autor preko 200 naučnih radova. Sakupljač posmrtnih maski velikih ljudi.

Galina BELYSHEVA

Simetrične crte lica smatraju se jednim od glavnih kriterija ljepote i za žene i za muškarce. Ali koliko je ova teorija validna?

(Ukupno 10 fotografija)

Post sponzor: Usisivač sa filterom za vodu: Individualni pristup svakom gostu. Uvek imam vremena da obavim kompletne konsultacije o kupljenoj opremi i obučim Vas za korišćenje. Osim toga, ovdje možete kupiti "električnog pomoćnika" za svoj dom, koristeći prednosti fleksibilnog sistema popusta.

1. Modni fotograf Alex John Beck odlučio je testirati važnost "simetrije lica" u pitanju atraktivnosti koristeći fotografije običnih ljudi kao primjer. Fotografiju svakog učesnika eksperimenta podijelio je na 2 dijela - desni i lijevi, a zatim "ogledao" svaki dio lica tako da je rezultat bila fotografija savršene simetrije.

Foto: Alex John Beck

2. Rezultat njegovog rada izgleda malo kontradiktorno. Za ljude s prirodnom, prirodnom simetrijom, "eksperimentalne" fotografije se ne razlikuju mnogo od običnih.

3. Učesnicima fotografisanja fotograf je odmah pokazao simetrične opcije.

4. Iz očiglednih razloga, ove „idealne“ opcije su više prijale onim učesnicima koji imaju prirodnu simetriju.

5. Alex John Beck kaže da se, gledajući nastale fotografije, čini da je vjerovatnije da prikazuju nekog daljeg rođaka modela nego samu manekenku.

6. No, vlasnici “pogrešnih” lica, kada su dobili svoje “poboljšane” fotografije, na njih su reagovali prilično suzdržano, čak i ako je njihova nova verzija izgledala vrlo lijepo i atraktivno.

7. Neki učesnici eksperimenta bili su zbunjeni, pa čak i uznemireni krajnjim rezultatom.

8. Određene fizičke karakteristike se pojavljuju na svakom portretu na vrlo zanimljiv način: na primjer, lice i vrat ovog čovjeka izgledaju tanje na lijevoj fotografiji, ali mnogo masivnije na desnoj.

10. Bilo bi logično da se gledaocu pokaže originalni portret modela, ali Alex Beck to nije učinio kako bi izbjegao pokušaje upoređivanja modela sa njegovom simetričnom verzijom. Autor projekta je, naprotiv, pokušao natjerati gledatelja da se koncentriše na nastale “eksperimentalne” fotografije.

Leonardo da Vinči je još u 15. veku kreirao crteže koji prikazuju „božanske“ proporcije ljudskog lica i tela, koje su i danas standard (Sl. 1). Međutim, ove proporcije ne uzimaju u obzir činjenicu da u živoj prirodi nema apsolutno simetričnih objekata: u bilo kojem od njih uvijek postoji jedinstvo simetrije i asimetrije.

Ljudi su kroz istoriju pokušavali da „izmere“ lepotu, opisuju je pomoću matematičkih formula ili geometrijskih proporcija, čime su omogućili da je ponovo kreiraju. Tako su u staroj Grčkoj red i harmonija uočeni u prirodi personificirani u blistavim slikama bogova i boginja, ovjekovječenim u prekrasnim statuama.

Prema grčkim vajarima, simetrija karakterizira harmoniju, proporcionalnost i harmoniju prirodnih tijela i ljudskog tijela. Stoga su koncepti simetrije i ljepote identični. Dovoljno je prisjetiti se strogo simetrične konstrukcije arhitektonskih spomenika, prirodno ponavljajućih uzoraka tradicionalnih ornamenata, zadivljujućeg sklada grčkih vaza (sl. 2).

Činjenica asimetrije ljudskog lica i tijela bila je poznata umjetnicima i skulptorima antičkog svijeta i korištena je da dodaju ekspresivnost i duhovnost djelima koja su stvarali.

Upečatljiv primjer asimetrije je lice Miloske Venere (slika 3). Zagovornici simetrije kritizirali su asimetričnost oblika ovog opšteprihvaćenog standarda ženske ljepote, smatrajući da bi Venerino lice bilo ljepše da je simetrično. Međutim, gledajući kompozicijske fotografije vidimo da to nije slučaj.

Sam koncept "simetrije" je direktno povezan sa harmonijom. Dolazi od starogrčke riječi συμμετρία (proporcionalnost) i znači nešto harmonično i proporcionalno u objektu. Koncept simetrije „ogledala“ primjenjiv je na ljude. Ova simetrija je glavni izvor našeg estetskog divljenja prema dobro proporcionalnom ljudskom tijelu.

Ova simetrija nije samo lijepa, već i funkcionalna. Dakle, simetrični udovi vam omogućavaju da se lako krećete u prostoru, položaj očiju omogućava vam da stvorite ispravnu vizualnu sliku, a ravna nosna pregrada osigurava adekvatno disanje. Međutim, simetrija živih organizama se ne manifestira s matematičkom preciznošću zbog neravnomjernosti razvoja i funkcije.

Simetrija lica i standardi ljepote

S vremenom su se standardi ljepote promijenili, ali principi i parametri koji određuju odnose i proporcije lica, a samim tim i njegovu atraktivnost, sačuvani su od davnina. Da bi lice bilo harmonično, njegovi različiti dijelovi moraju biti povezani u određenoj proporciji, čime se postiže ukupna ravnoteža. Nijedan dio lica ne postoji niti funkcionira odvojeno od ostalih. Svaka promjena na bilo kojem dijelu lica imat će stvaran ili prividan učinak na percepciju drugih dijelova i lica u cjelini.

To je prirodno sve proporcije ljudskog lica su samo približne za njegovu estetiku iz nekoliko razloga:

• Prvo, proporcije lica se mijenjaju ovisno o dobi, spolu, fizičkom razvoju osobe i u velikoj mjeri su određene individualnim strukturnim karakteristikama.
• Drugo, procjena proporcionalnosti postaje teža u zavisnosti od položaja glave
• Treća poteškoća leži u asimetriji ljudskog lica, koja se često manifestuje u obliku nosa, položaju očnih proreza i obrva, te položaju uglova usta. Dvije strane lica ne proizvode istu zrcalnu sliku, čak i ako lice percipiramo kao savršeno ispravno.

Dakle, danas je općenito prihvaćena činjenica asimetrije lica, izražena disparitetom desne i lijeve polovice, od kojih je jedna po pravilu šira i viša, druga uža i niža.

Iz fotografija prikazanih na slici 4, jasno je da se apsolutno simetrična lica jasno razlikuju od originalne slike lica sa prirodnom asimetrijom. Po našem mišljenju, "sintetički" simetrična lica izgledaju manje privlačna, kao i na originalnim fotografijama, iako smo za kreiranje kompozitnih portreta odabrali lica glumaca čija je pojava ocijenjena najviše. Štoviše, upravo se ta lica odlikuju izraženijom simetrijom nego što se to opaža kod većine ljudi, ali blaga asimetrija samo naglašava njihovu privlačnost.

Ljepota u asimetriji?

Dakle, da li je asimetrija svojstvena svima nama zaista lijepa ili nije? Sasvim je očito da značajna kršenja simetrije u strukturi lica ne smatramo privlačnima. Međutim, mala odstupanja od simetrije ne unose disharmoniju, već samo povoljno ističu individualnost.

Većina pacijenata koji se obrate plastičnom kirurgu ne primjećuju asimetriju proporcija lica i tijela. Stoga je jedan od važnih zadataka kirurga tokom konsultacija da skrene pažnju pacijenta na karakteristike njegovih proporcija i detaljno opiše nadolazeće promjene kao rezultat operacije. Korekcija asimetrije lica uvelike je olakšana upotrebom minimalno invazivnih metoda, kao što su i.

Dakle, izražena asimetrija se obično smatra neestetskom, te je u takvim slučajevima želja za postizanjem simetričnijeg izgleda sasvim prirodna i može poslužiti kao indikacija za plastičnu operaciju. Međutim, blaga asimetrija lica samo mu daje atraktivnost i individualnost, pa stoga ne treba težiti apsolutnoj simetriji.

Inače, mrtvi ljudi imaju simetrična lica. Međutim, naša se lica mijenjaju tokom života.

Simetrija i asimetrija lica. Koja je njihova tajna? Zašto nas toliko privlače simetrična lica? Poznato je da je u 15. veku Leonardo da Vinči kreirao crteže koji prikazuju standardne proporcije ljudskog lica i tela. Ali u živoj prirodi apsolutno simetrični objekti ne postoje. Međutim, oni koji imaju sreću da imaju veoma blizu simetrično lice verovatno su primetili da su popularni kod suprotnog pola. Štoviše, činjenica da ima simetrično lice također može ukazivati ​​na odlično zdravlje njegovog vlasnika. Čak se i prehlada gotovo uvijek povlači kod ljudi čija lijeva strana tijela potpuno prati konture desne strane.

Simetrija je povezana sa efektima testosterona i estrogena kod ljudi. Muškarci sa simetričnim licima izgledaju muževnije, dok žene izgledaju ženstvenije. Takva lica ukazuju na to da osobu generiše veliki broj gena. Istraživanje simetrije lica pokazalo je da visoko asimetrično lice odbija ljude. Simetrično lice služi kao stimulativni faktor. To se objašnjava činjenicom da su ljudi tijekom evolucije nastojali da se razmnožavaju s onima koje su doživljavali kao zdravije osobe. Simetrično lice ukazuje na zdrave gene.

Inače, mrtvi ljudi imaju simetrična lica. Međutim, naša se lica mijenjaju tokom života. Asimetrija lica je sinonim za život. Osoba se rađa sa asimetričnim licem. Lijeva i desna strana su mu potpuno različite. Što je razlika među njima veća, čovjek je mentalno, duhovno i kreativno savršeniji. Zahvaljujući asimetriji mlada lica su tako izražajna - sa svijetlim crtama. I tokom godina izgleda da se lice izgladi i zamuti. Smrt osobe izražava apsolutnu simetriju. U isto vrijeme, prema nekim istraživačima, ljudi ne umiru od bolesti ili nesreća. Dolazi rok, asimetrija lica se izravnava i osoba napušta ovaj svijet.

A ako se vratimo na pitanje simetrije lica, vrijedi napomenuti da gledamo cijela lica, a ne simetriju pojedinačnih dijelova. Osoba gleda lica s lijeva na desno. Naš mozak može procijeniti samo jednu polovinu lica. Stoga često ne primjećujemo razlike između desne i lijeve strane. Naravno, možemo uočiti značajne povrede simetrije, a manja odstupanja od simetrije ne unose disharmoniju, već samo povoljno ističu individualnost osobe koja je ispred nas.

Hajde da za sada ne otkrivamo postoji li apsolutno simetrična osoba. Svako će, naravno, imati mladež, pramen kose ili neki drugi detalj koji narušava vanjsku simetriju. Lijevo oko nikada nije potpuno isto kao desno, a uglovi usana su u različitim visinama, barem kod većine ljudi. Ipak, ovo su samo manje nedosljednosti. Niko neće sumnjati da je osoba spolja građena simetrično: lijeva ruka uvijek odgovara desnoj, a obje ruke su potpuno iste! Stani. Vrijedi stati ovdje. Da su nam ruke zaista potpuno iste, mogli bismo ih promijeniti u bilo kojem trenutku. Bilo bi moguće, recimo, transplantacijom prenijeti lijevi dlan u desnu ruku, ili, jednostavnije, lijeva rukavica bi tada pristajala desnoj, ali to zapravo nije slučaj.

Pa, naravno, svi znaju da je sličnost između naših ruku, ušiju, očiju i drugih dijelova tijela ista kao između predmeta i njegovog odraza u ogledalu. Knjiga koja je pred vama posvećena je pitanjima simetrije i zrcalne refleksije.

Mnogi umjetnici su pomno pazili na simetriju i proporcije ljudskog tijela, barem dok ih nije potaknula želja da u svojim radovima prate prirodu što je bliže moguće. Poznati su kanoni prodortiusa koje su sastavili Albrecht Dürer i Leonardo da Vinci. Prema ovim kanonima, ljudsko tijelo nije samo simetrično, već i proporcionalno. Leonardo je otkrio da se tijelo uklapa u krug i kvadrat. Dürer je tražio jednu mjeru koja bi bila u određenom odnosu sa dužinom trupa ili noge (takvom je mjerom smatrao dužinu ruke do lakta).

U modernim slikarskim školama, vertikalna veličina glave najčešće se uzima kao jedna mjera. Uz određenu pretpostavku, možemo pretpostaviti da je dužina tijela osam puta veća od veličine glave. Na prvi pogled ovo izgleda čudno. Ali ne smijemo zaboraviti da većina visokih ljudi ima izduženu lubanju i, naprotiv, rijetko je sresti niskog, debelog čovjeka s izduženom glavom.

Veličina glave je proporcionalna ne samo dužini tijela, već i veličini ostalih dijelova tijela. Svi ljudi su izgrađeni na ovom principu, zbog čega smo generalno slični jedni drugima. (Vratit ćemo se na sličnost ili sličnost na nekoliko stranica.) Međutim, naše proporcije su samo približno konzistentne, pa su stoga ljudi samo slični, ali ne i isti. U svakom slučaju, svi smo simetrični! Osim toga, neki umjetnici posebno ističu ovu simetriju u svojim radovima.

SAVRŠENA SIMETRIJA JE DOSADNA

I u odjeći, osoba, po pravilu, također pokušava zadržati dojam simetrije: desni rukav odgovara lijevom, desna nogavica odgovara lijevoj.

Dugmad na jakni i na košulji sjede točno na sredini, a ako se odmaknu od nje, onda na simetričnoj udaljenosti. Retko kada žena ima dovoljno hrabrosti da obuče istinski asimetričnu haljinu (videćemo dalje koliko su jaka odstupanja od simetrije dozvoljena).

Ali na pozadini ove opće simetrije, u malim detaljima namjerno dopuštamo asimetriju, na primjer, češljajući kosu na bočni razdjeljak - s lijeve ili desne strane. Ili, recimo, stavljanje asimetričnog džepa na grudima odijela, često naglašenog šalom. Ili stavljanje prstena na domali prst samo jedne ruke. Ordeni i značke se nose samo na jednoj strani grudi (obično na lijevoj).

Potpuna besprijekorna simetrija izgledala bi nepodnošljivo dosadno. Mala odstupanja od njega daju karakteristične, individualne karakteristike. Čuveni autoportret Albrechta Durera na prvi pogled djeluje apsolutno simetrično. No, ako bolje pogledate, primijetit ćete mali asimetričan detalj, koji slici daje živost i vitalnost: pramen kose blizu razdjeljka.

A u isto vrijeme, ponekad osoba pokušava naglasiti i ojačati razliku između lijeve i desne strane. U srednjem vijeku muškarci su svojevremeno nosili pantalone sa nogavicama različitih boja (na primjer, jedne crvene, a druge crne ili bijele). A ovih dana su bile popularne farmerke sa svijetlim mrljama ili mrljama u boji. Ali takva moda je uvijek kratkog vijeka. Samo taktična, skromna odstupanja od simetrije ostaju dugo vremena.

ŠTA JE SLIČNOST?

Često kažemo da su dvije osobe slične jedna drugoj. Djeca obično liče na svoje roditelje (barem prema njihovim bakama). Slično, ali ne isto!

Pokušajmo razumjeti šta se u matematici podrazumijeva pod sličnošću ili sličnošću. Za slične brojke, odgovarajući segmenti su proporcionalni jedni drugima. U našem slučaju ovu situaciju možemo formulirati na sljedeći način: slični nosovi imaju isti oblik, ali se mogu razlikovati po veličini. U tom slučaju svaki pojedinačni dio nosa (na primjer, most nosa) mora biti proporcionalan svim ostalim.

Ovaj zakon sličnosti ponekad je pun zamka. Na primjer, kod ovakvog problema:

Visina tornja A je 10 m. Na određenoj udaljenosti od X nalazi se kula B od šest metara. Ako povučemo prave linije od podnožja i vrha tornja A kroz vrh kule B, onda će se one sastati, respektivno. , podnožje i vrh kule C, koja ima visinu od 15 m. Kolika je udaljenost od tornja A do tornja B?

Čini se da je za rješavanje ovog problema dovoljno uzeti kompas i ravnalo. Ali odmah se ispostavi da će postojati beskonačan broj odgovora. Drugim riječima, ne može biti jasnog odgovora na pitanje o vrijednosti X.

U ovoj knjizi ćete se često susresti s problemima koji zahtijevaju razmišljanje. Ovo ima određeno pedagoško značenje. Problemi ove vrste, čak i ako nemaju rješenje, kao što je gore predloženo, odnose se na neki problem koji leži u granicama našeg znanja. Uglavnom, upravo su to granice pred kojima famozni „zdrav razum“ popušta, a samo strogo matematičko logičko razmišljanje, uz prirodnu nauku, može dovesti do prave odluke.

Vratimo se opet čovjeku: kada se porede živa bića, sličnost se jasno osjeća ako se njihove proporcije poklapaju. Stoga djeca i odrasli mogu biti slični. Iako su masa i veličina bilo kojeg dijela tijela, bilo nosa ili usta, različite, proporcije sličnih pojedinaca su iste.

Upečatljiv primjer sličnosti je vizualna procjena udaljenosti pomoću palca. Na taj način vojnici i mornari procjenjuju udaljenost između dvije točke na tlu ili na moru, uspoređujući ih sa širinom prsta ili šake. U najjednostavnijem slučaju, zatvore jedno oko i otvorenim okom gledaju u prst ispružene ruke, koristeći ga kao nišan.

Prilikom nišanja palcem ispružene ruke (jednom lijevim okom, a drugim desnim okom), prst "odskače" za oko 6°

Ako otvorite prethodno zatvoreno oko (i zatvorite drugo), prst će se pomaknuti vidljivo u stranu. U stepenu, ovo rastojanje je 6°. I, štaviše, veličina ovog „skoka“ (unutar dozvoljene greške) je ista za sve ljude! Dakle, četa desnog boka, momak visok dva metra, i najmanja - lijevi bok, visok samo šezdeset metara, upoređujući ove "skokove" prsta, dobiće istu vrijednost.

Razlog za ovu pojavu u konačnici leži u sličnosti ljudi i, naravno, u zakonima optike kojima podliježe naša vizija.

“Pravilo šake” je također poznato - u najbukvalnijem smislu riječi - za grubu procjenu veličine ugla. Ako jednim okom pogledamo šaku ispružene ruke (ovaj put istim okom), tada će širina šake biti 10°, a razmak između dvije kosti falange 3°. Šaka i palac ispruženi u stranu bit će 15°. Kombinacijom ovih mjerenja možete približno izmjeriti sve uglove na tlu.

I na kraju, još jedna kutna mjera našeg tijela, koja može biti korisna za kućne poslove. Ugao između palca i malog prsta ispruženog dlana je 90°. Ovo se čini malo vjerojatnim, ali možete odmah sve sami provjeriti tako što ćete ispružene prste dlana staviti na ugao naše knjige. Postavite mali prst tačno paralelno sa jednom ivicom i pomerajte ruku nadole duž njega sve dok i vaš palac ne legne na donju ivicu. Jeste li sigurni?

Naravno, ovdje se greška ponekad pokaže relativno velikom, jer u zavisnosti od starosti i razvijenosti šake, palac se može odmaknuti na različite udaljenosti. Ali za prvi test, koji vam omogućava da odlučite da li izmjereni kut značajno odstupa od pravog kuta, ova metoda je sasvim prikladna.

LINIJA I RAVINA

Ljudi obdareni maštom odavno su primijetili da zakoni kongruencije, tako strogi za dvodimenzionalni prostor, kada se primjenjuju u praksi često zahtijevaju korištenje treće dimenzije.

Prilikom postavljanja stola za svečani prijem, salvete se obično presavijaju u trokut. Ali čim sakupite ove trouglove u hrpu, jedan na drugi, otkrivate da postoje dvije vrste ovih trouglova: neki odmah „pristaju“ jedan drugome, dok drugi moraju biti okrenuti „na desnu stranu“. ” Sličan problem se javlja kod štancanja malih dijelova kada neko pokuša složiti gotov proizvod.

Pjesnici i pisci imaju tendenciju da maštaju o manje ili više vjerojatnim situacijama. Tako postoje radovi u kojima je život prikazan u dvodimenzionalnom prostoru (gdje ne možete prevrnuti „salvetu“).

Neki autori idu i dalje i pokušavaju da zamisle život u jednodimenzionalnom prostoru, u Straight Country - Linelandu. Lineland naseljavaju samo tanki drveni štapići, koji se u najjednostavnijem slučaju ne razlikuju jedni od drugih. Međutim, čim im date glave (odmah padaju na pamet šibice!), odmah imaju dvije mogućnosti.

Ili sve šibice imaju glave okrenute u istom smjeru - tada njihovo kombiniranje ne izaziva nikakve poteškoće. Ili neke šibice leže sa glavom ulijevo, a neke sa glavom udesno. Matematičar iz Linelanda nema praktičnu sposobnost da pretvori "lijeve" utakmice u "desne". Ali matematičar iz Zemlje ravnosti - Flatland, koji ima još jednu dimenziju, odmah će pronaći jednostavno rješenje: okrenut će šibicu u ravnini.

Međutim, prema nekim piscima, život u Flatlandu nije tako jednostavan. Zamislimo da su stanovnici ove zemlje mali pravougaonici sa okom (a imaju samo jedno oko) u jednom od uglova. Takav pravougaonik se, naravno, može videti samo u ravni, a on nikada ne uspeva da pogleda ovu ravan odozgo. Dakle, nijedan Flatlander nikada neće moći da zamisli kako on zaista izgleda: ovo već zahteva pogled iz trodimenzionalnog prostora. Kuće Flatlandaca bile bi slične onima na dječjim crtežima. S tom razlikom što bi vrata bila sa strane i otvarala bi se samo u istoj ravni. Ali šarke vrata bi morale biti napravljene izvan ravnine, iznad ili ispod nje. Osim toga, bio bi neophodan složen sistem oslonaca kako bi se spriječilo da se zid kuće uruši kada njeni stanari požele da otvore vrata. A dvojica Flatlandaca mogla su se gledati samo ako je jedan od njih uspio stati na glavu.

Situacija bi bila još složenija da su Flatland naseljena dva naroda. Recimo levoruki i dešnjaci Flatlanders. Potrebno je puno mašte da zamislimo sve moguće posljedice takve situacije, pogotovo ako se uzme u obzir da smo navikli razmišljati u tri dimenzije!

Budući da su i Lineland i Flatland piscima predstavljeni u duhovitom svjetlu, nije iznenađujuće što je literatura na ovu temu nastala u Engleskoj.

Godine 1880 Učitelj engleskog Edwin Ebony Abbott napisao je knjigu o Flatlandu i njegovim stanovnicima ( Abbott E. E. Flatland. U knjizi: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Abotov Flatlander, nakon što se u snu našao u Linelandu, uzalud pokušava uvjeriti tamošnje stanovnike u postojanje aviona.

U toku radnje, jedan od Flatlandaca uspeva da shvati trodimenzionalni prostor, po čemu je prepoznat kao „najluđi od ludih“.

Više od dvadeset godina kasnije, 1907., C. G. Hinton je objavio roman The Flatland Incident. U njemu dvoje ljudi iz Flatlanda ratuju. Budući da su svi Flatlandci okrenuti u istom pravcu, jedan od ljudi je uvijek u beznadežnom položaju: ne može se okrenuti i uzvratiti u pravom smjeru - omraženi neprijatelj mu stalno sjedi na vratu. Ali na kraju dobro pobjeđuje. Neka pametna glava primjećuje da se Flatland nalazi na lopti i stoga možete trčati oko nje i doći iza neprijateljskih linija.

Autor romana svoju priču gradi na prešutnoj pretpostavci da se Flatlandari mogu kretati samo u određenim opštim pravcima, isključujući zaobilaznicu sa strane, i da im je nemoguće srušiti neprijatelja preko glave.

Kao što se može vidjeti, iznesene su najsofisticiranije teorije o životu u dvodimenzionalnom prostoru, ali nikada nisu našle primjenu. Vjerovatno bi i ove knjige i njihovi autori odavno bili zaboravljeni da Lineland i Flatland nisu bili toliko potrebni da objasne teoriju refleksije u ogledalu i da se sastavljači problema inteligencije nisu morali uvijek iznova obraćati Flatlandu kako bi izvukli ideje. od svoje dvodimenzionalnosti (inače, ne tako davno u Mađarskoj je nastao crtani film o putovanju školarca Adoljara u ravnicu).

Između ostalog, Flatlanders prevoze robu pomoću kotrljajućih platformi na krugove. Svaki put kada teret prođe krug, službenik transporta otkotrlja krug naprijed i postavlja ga ispred platforme.

Ovdje se javljaju mnogi zanimljivi problemi. Ali nas zanima samo jedno: ako se osovina kotača kreće brzinom od 10 m u minuti, kojom brzinom se kreće teret?

O našem zemaljskom automobilu znamo da se niti jedan točak (tačnije, niti jedna osovina točka) ne može kretati brže od cijelog automobila. Ali na ravnom vozilu točak nije čvrsto povezan sa teretom. Nakon razmišljanja, nije teško shvatiti da je opterećenje ovdje uključeno u dva pokreta.

Prvo, kreće se zajedno sa osom rotacije točka (ovo je isto kao i automobil). Osim toga, opterećenje se i dalje kotrlja po obodu kotača, a u isto vrijeme brzinom jednakom brzini rotacije osovine. Stoga, općenito, teret se kotrlja dvostruko većom brzinom od točka. Naravno, teret se mora kretati brže jer kotači uvijek ostaju iza i moraju se stalno pomicati naprijed.

Neki čitaoci će pomisliti: "Problem je zaista zanimljiv, ali šta onda?"

Međutim, princip rada ravničarskog transporta nalazi svoje mjesto u našoj tehnologiji. Dakle, dizajner, koji dizajnira vrata u maloj prostoriji (na primjer, u blizini malog lifta), prisiljen je napustiti šarke. Podeli vrata na dve polovine (ako, naravno, smisli takav trik!), koje idu paralelno jedna s drugom. Jedna polovina vrata je čvrsto pričvršćena na osovinu valjka, a druga se pomiče po obodu ovog valjka. Dok jedna polovina pomiče polovinu širine vrata, druga uspijeva pretrčati cijelu širinu vrata (dvostrukom brzinom).

Nemojmo prezirati Flatland i fantazije pisaca. Pretpostavimo da Flatlanderi zapravo žive na površini lopte. Ova površina je toliko velika da stanovnici možda neće primijetiti njenu zakrivljenost. Naravno, misle da žive u ravni, jer ne mogu zamisliti sferu: uostalom, treća dimenzija im je, u principu, nepoznata. Stoga, ravničarski profesori razvijaju ravničarsku matematiku, koja se izučava u školama. Djeca tamo pamte, na primjer, sljedeću definiciju: dvije paralelne prave se sijeku na konačnoj udaljenosti. Ili: zbir uglova trougla prelazi 180°. Mi, ljudi trodimenzionalnog prostora, znamo da je sferna površina dvodimenzionalni neeuklidski prostor koji se ne uklapa u uobičajenu euklidsku geometriju.

Gledajući globus, vidimo da se dva meridijana, paralelna na ekvatoru, seku na polu. Gledajući globus, također možete vidjeti da dva meridijana formiraju ugao od 90° sa ekvatorom. U tački preseka na polu pojavljuje se drugi ugao. A zbir sva tri ugla je u svakom slučaju veći od 180°. Ali jadni Flatlandari, naravno, ne mogu ni zamisliti sve ovo. Sigurni su da žive u avionu.

Jedan skeptični matematičar, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ozbiljno se zapitao da li smo i mi ljudi u položaju Flatlandaca. Možda, pomislio je Gaus, i mi živimo u neeuklidskom svijetu, ali to jednostavno ne primjećujemo. Da je to tako, prostor bi bio zakrivljen (što, naravno, ne bismo mogli zamisliti), a dovoljno veliki trougao bi imao zbir uglova koji nije 180°. Gauss je izmjerio trokut između Brockena, Inselberga i Hohe Hagena, ali nije našao značajno odstupanje od 180°. To, naravno, nije moglo poslužiti kao neosporan dokaz, jer bi trougao ipak mogao biti premali.

Međutim, ne može se jednostavno uporediti neeuklidski prostor o kojem se raspravljalo sa prostorom u teoriji relativnosti. Vi i ja, Flatlanderi i Gauss, razgovaramo o čisto geometrijskom, prostornom problemu io tome da li su određeni aksiomi tačni (na primjer, presjek dvije paralelne prave u beskonačnosti). Pristalice teorije relativnosti uvode vrijeme kao četvrtu prostornu koordinatu.

O KONGRUENCIJI

Dvije ravne figure su podudarne ako su svi njihovi uglovi i segmenti između odgovarajućih tačaka jednaki.

U školi učimo teoreme o kongenciji trouglova. Utvrđeno je, na primjer, da su površine trokuta jednake ako im se jedna strana i dva susjedna ugla poklapaju. To znači da, iako možete koristiti stranu i dva susjedna ugla za konstruiranje trokuta, trokuti se moraju podudarati u svim svojim dijelovima.

U kolokvijalnom govoru (što koristimo u ovoj knjizi) možemo reći da su kongruentne ravni tačno superponirane jedna na drugu, ili, obrnuto, ako je jedna ravninska figura tačno superponirana drugoj, onda su kongruentne. Isto važi i za trodimenzionalna tela: ako se mogu kombinovati, onda su kongruentna.

Pogledajte trouglove prikazane na slici. Svi su kongruentni. Očigledno, oba trokuta s lijeve strane će stati ako ih jednostavno pomjerite. Ali trougao postavljen na desnoj strani, iako je kongruentan sa dva leva, ne možemo ga kombinovati sa njima samo kretanjem u ravni. Bez obzira na to kako ga rotiramo u ravni, nikada se neće poravnati ni sa jednim od lijevog trougla. Da biste to postigli, trebate podići trokut iznad ravnine, rotirati ga u prostoru i vratiti na ravan. Ali ako uporedimo relativne položaje trouglova kombinovanih pomeranjem i invertovanjem, videćemo da se u oba slučaja njihove različite strane poklapaju. Kada se srezuje, donja površina jednog trokuta papira preklapa se sa gornjom površinom drugog trokuta. Prostorna orijentacija površine papirnog lista se nije promijenila. U ovom slučaju govorimo o identičnoj podudarnosti. Ako su, kada se rotiraju u prostoru, obje gornje površine papira poravnate, ravne figure se nazivaju zrcalno kongruentne.

Kongruentne su ravne figure koje doživljavamo kao jednake i koje se mogu kombinovati jedna s drugom pomjeranjem u ravnini ili rotacijom u prostoru.

KONGRUENCIJA TROUGOVA

Kongruencija je svojstvo geometrijskih ravnih figura da se međusobno poklapaju po veličini i obliku.

Identično kongruentne figure su one koje se mogu kombinovati jedna s drugom rotacijom i/ili pomicanjem.

Zrcalno-kongruentne figure su one čija kombinacija zahtijeva dodatnu operaciju zrcalne refleksije.

Postoje četiri znaka kongruencije trougla. Trokuti su podudarni ako:

1) tri strane jednog trougla jednake su trima stranicama drugog (S, S, S);

2) dve stranice i unutrašnji ugao jednog trougla zatvorenog između njih jednaki su dvema stranicama i unutrašnjim uglom drugog trougla zatvorenog između njih (S, W, S);

3) dve stranice i unutrašnji ugao nasuprot većoj jednog trougla jednaki su dvema stranicama i ugao naspram većeg drugog trougla (S, S, W);

4) stranica i oba unutrašnja ugla uz nju jednog trougla jednaki su strani i oba unutrašnja ugla drugog trougla (W, S, W).

SLIČNOST

Podudarnost ravnih figura u obliku, ali ne i veličini, naziva se sličnost.

Svaki ugao jedne od figura odgovara jednakom uglu slične figure.

Na takvim brojkama, odgovarajući segmenti su proporcionalni.

Pomicanjem, rotacijom i (ili) zrcaljenjem, dvije slične figure mogu se dovesti u položaj homotetije. U ovom položaju, odgovarajuće strane obje figure su paralelne jedna s drugom.

AKSIJALNA SIMETRIJA

Neka je ravan podijeljena pravom s na dvije poluravnine. Ako sada zarotiramo jednu poluravninu oko prave 5 za 180°, tada će se sve tačke ove poluravnine poklapati sa tačkama druge poluravnine.

Prava linija s naziva se osa simetrije.

Zbog činjenice da su tačke na obrnutoj poluravni u zrcalnom položaju u odnosu na njihov prvobitni položaj, ova inverzija se naziva i zrcalna refleksija. Ako nacrtate linije na jednoj poluravni koje označavaju određene smjerove rotacije, tada će se nakon refleksije ogledala ovaj smjer promijeniti u suprotan. Stoga, jedna operacija zrcaljenja proizvodi zrcalno kongruentne figure. Dvije takve operacije dovode do identično podudarnih brojki. Oni odgovaraju pomaku ili rotaciji.

RADIJALNA SIMETRIJA

Radijalno simetrične figure se mogu poravnati jedna s drugom rotacijom oko tačke S. Ova tačka se naziva centar simetrije.

Prilikom rotacije, odgovarajuće točke figura se kombiniraju. Smjer rotacije se ne mijenja. Ovako reflektovana figura identično je kongruentna.

Naknadne operacije rotacije neće uticati na identitet figura ni na koji način. Kod ugla rotacije od 180° govorimo o centralnoj simetriji.

DICE TRICK

Učitelji kažu da igra s blokovima razvija prostornu maštu. I tako roditelji kupuju svoje potomke kutije sa svijetlim kockama prekrivenim fragmentima slika iz popularnih bajki. Složite ove kocke na pravi način, videćete Crvenkapicu sa sivim vukom ili Snežanu sa sedam patuljaka.

Zapravo, ovakve kocke i zagonetke razvijaju prostornu maštu ne samo kod djece, već kod svih – od malih do starijih. Ponekad možemo savijati kocku od raznih oblika trupaca.

Nakon detaljnijeg pregleda ovih pojedinačnih elemenata, čini se da najmanje dva od njih imaju isti oblik i veličinu, ali su međusobno povezani poput lijeve i desne rukavice. Kreatori ovih vrsta slagalica očito se nadaju da igrači neće odmah primijetiti ovu razliku. Ako se prisjetimo koliko smo puta pomiješali desnu i lijevu rukavicu, moraćemo priznati da takve nade nisu bez osnova.

Gotovo je nemoguće kombinirati ove elemente. Treba napomenuti da kada ovdje (ili negdje ispod) koristimo izraz „praktično moguće“, mislimo na implementaciju takvog zadatka u praksi.

Ali postoje i matematičke ili fizičke metode koje omogućuju kombiniranje elemenata, barem teoretski ili prema vanjskim znakovima - to će biti predmet daljnjeg razmatranja. A pošto smo govorili o kombinovanju jednog elementa sa drugim, treba posebno istaći jednu važnu okolnost. U Flatlandu bi bilo moguće kombinovati ravne figure tako što bi ih izvadili iz ravni i rotirali u prostoru. U Linelandu bi na isti način bila potrebna samo još jedna dimenzija: jedna rotacija u ravnini i segmenti postaju kompatibilni.

Ali možemo rotirati samo prostorne zgrade u prostoru! A budući da nam je četvrta dimenzija, unatoč svim Gaussovim razmišljanjima, zatvorena, teško je i zamisliti kako praktično (!) možemo svoje „cigle“ smjestiti negdje drugo osim trodimenzionalnog prostora tako da se uklapaju!

U svakodnevnom životu vrlo često moramo rješavati slične zagonetke (naglašavam: rješavajte ih praktično, a ne igrajte se!), na primjer, prilikom pakiranja raznih predmeta. Ili, na primjer, zamislite radijatore za centralno grijanje. Neki od njih imaju ventil za podešavanje na lijevoj strani, dok ga drugi imaju na desnoj strani. Kako spojiti nekoliko radijatora u jednu bateriju?

Frižideri, štednjaci i drugi kućni potrepštini obično su dizajnirani sa desno i lijevom ručkom, ključevima i slavinama. Fantastična mogućnost rotiranja ovakvih objekata u četvrtoj dimenziji uvelike bi se svidjela svima koji se bave njihovim transportom i ugradnjom.

POGLEDAJ U RJEČNIK!

Na početku knjige čovjeka smo nazvali simetričnim stvorenjem. Nakon toga, termin „simetrija“ se više nije koristio. Međutim, vjerovatno ste već primijetili da smo u svim slučajevima kada su segmenti linija, ravne figure ili prostorna tijela bili slični, ali bez dodatnih radnji bilo nemoguće, “praktično” nemoguće, spojiti ih, nailazili na fenomen simetrije. Ovi elementi su odgovarali jedni drugima, poput slike i njenog ogledala. Kao leva i desna ruka. Ako se potrudimo da zavirimo u “Rječnik stranih riječi”, otkrit ćemo da se pod simetrijom podrazumijeva “proporcionalnost, potpuna korespondencija u rasporedu dijelova cjeline u odnosu na srednju liniju, centar... takav raspored tačke u odnosu na tačku (centar simetrije), pravu liniju (os simetrije) ili ravan (ravninu simetrije), u kojoj svake dve odgovarajuće tačke leže na istoj pravoj liniji koja prolazi kroz centar simetrije, na istoj okomici na osa ili ravan simetrije, na istoj udaljenosti od njih..." ( Rječnik stranih riječi: Ed. 7., revidirano. -M.; Ruski jezik 1980, str. 465)

I to nije sve, kao što se često dešava sa stranim riječima, riječ "simetrija" ima mnogo značenja. Upravo je to prednost takvih izraza: oni se mogu koristiti u slučajevima kada se ne želi dati jednoznačna definicija ili jednostavno ne postoji jasna razlika između dva objekta.

Koristimo izraz „proporcionalan“ u odnosu na osobu, sliku ili bilo koji predmet kada nam manje nedosljednosti ne dozvoljavaju da koristimo riječ „simetrično“.

Pošto preturamo po referentnim knjigama, pogledajmo Enciklopedijski rečnik ( Sovjetski enciklopedijski rečnik - M.: Sovjetska enciklopedija, 1980, str. 1219-1220). Ovdje ćemo pronaći šest članaka koji počinju riječju "simetrija". Osim toga, ova se riječ pojavljuje u mnogim drugim člancima.

U matematici, riječ "simetrija" ima najmanje sedam značenja (među njima i simetrični polinomi, simetrične matrice). U logici postoje simetrični odnosi. Simetrija igra važnu ulogu u kristalografiji (više o tome ćete pročitati u ovoj knjizi). Koncept simetrije u biologiji se zanimljivo tumači. Opisuje šest različitih tipova simetrije. Saznajemo, na primjer, da su ctenofori disimetrični, dok su cvjetovi zmajeva bilateralno simetrični. Otkrićemo da simetrija postoji u muzici i koreografiji (plesu). Ovdje ovisi o izmjeni otkucaja. Ispostavilo se da su mnoge narodne pjesme i igre građene simetrično.

Dakle, moramo se dogovoriti o kojoj vrsti simetrije ćemo govoriti. Bez obzira na prirodu predmeta koji se razmatraju, glavni interes za nas će biti zrcalna simetrija - simetrija lijevog i desnog. Vidjet ćemo da će nas ovo očigledno ograničenje odvesti daleko u svijet nauke i tehnologije i omogućiti nam da s vremena na vrijeme testiramo sposobnosti našeg mozga (pošto je on programiran za simetriju).

IGRA TAČKA I LINIJA

Još nismo napustili Lineland i Flatland. A za to postoji poseban razlog. Čak i ako tamo nema stanovnika, onda su same ravne linije i ravni sasvim stvarni!

Razmislimo o tome kako stvari stoje sa simetrijom na pravoj liniji. Uz pomoć dvije utakmice možemo vrlo jednostavno zamisliti dva moguća slučaja. (Već smo ranije ispitali neke aspekte ove situacije.) Utakmice mogu ležati glavom u jednom smjeru. Tada se lako uklapaju. Ili sa glavama (ili vrhovima) okrenutim jedna prema drugoj. U ovom slučaju, postoji tačka na pravoj liniji u kojoj se ogledalo može postaviti na takav način da se čini da se šibica poravna sa svojim odrazom. Drugim riječima, na pravoj liniji postoji centar simetrije. Moraćemo da zamislimo da ogledalo stane u jednu tačku i da se u njemu reflektuje polovina pravolinijskog segmenta. U matematičkom zaključivanju to je sasvim moguće.

Ravne figure se „reflektuju“ u osi simetrije

Kada konstruišemo na ravni, naše ogledalo može i dalje ostati tačka, ili možda prava linija. Vjerovatno je ispravnije reći obrnuto: prava linija ili tačka će poslužiti kao ogledalo. Uostalom, ako negdje postoji prava linija, tada je na njoj moguć centar simetrije.

Zrcalne refleksije polovina ravnina izgledaju isto kao i prave ravnine: rotiranjem ravni oko prave linije – ogledala – može se kombinovati sa odrazom, pa otuda i izraz “os simetrije”.

Krug ima beskonačan broj osi simetrije. "List djeteline" - samo jedan

Dakle, sada znamo šta su centar simetrije i osa simetrije, a takođe i da je objekat (uzmimo ovu neutralnu reč) simetričan ako je jedna njegova polovina povezana sa drugom, poput slike i njenog ogledala.

Krug ima beskonačan broj osi simetrije i sve one prolaze kroz zajednički centar simetrije. Za ostale figure, broj osi simetrije je konačan, ali i dalje sve ose (dvije ili više) prolaze kroz centar simetrije. To znači da možemo rotirati figuru za određeni ugao (maksimalno 180°) i ona će opet ležati na potpuno istom mestu kao i pre rotacije.

Nastavimo naše razmišljanje o simetriji ogledala. Lako je ustanoviti da se svaka simetrična ravna figura može poravnati sama sa sobom pomoću ogledala. Iznenađujuće je da su tako složene figure poput petokrake zvijezde ili jednakostraničnog petougla također simetrične. Kako to proizilazi iz broja osi, odlikuju se visokom simetrijom. I obrnuto: nije tako lako razumjeti zašto je tako naizgled pravilna figura, poput kosog paralelograma, asimetrična. U početku se čini da bi os simetrije mogla ići paralelno s jednom od njenih strana. Ali čim mentalno pokušate da ga iskoristite, odmah postajete uvjereni da to nije tako. Spirala je takođe asimetrična.

Čudno je da takva naizgled "simetrična" figura, poput paralelograma, nema samo osi simetrije, već i zrcalne simetrije općenito

Dok su simetrične figure u potpunosti usklađene sa svojom refleksijom, asimetrične se razlikuju od nje: od spirale koja se uvija s desna na lijevo, u ogledalu ćete dobiti spiralu koja se uvija s lijeva na desno. Ovo svojstvo se često koristi u masovnim igrama i takmičenjima koja se održavaju na televiziji. Od igrača se traži da se pogledaju u ogledalo i nacrtaju neku asimetričnu figuru, poput spirale. I onda ponovo nacrtajte "potpuno istu" spiralu, ali bez ogledala. Poređenje oba crteža pokazuje da su spirale različite: jedna se uvija s lijeva na desno, druga s desna na lijevo.

Ali ono što ovdje u praktičnom životu izgleda kao šala uzrokuje mnogo poteškoća ne samo djeci, već i odraslima. Djeca često pišu neka slova naopako. Latinsko N izgleda kao I, umjesto S i Z ispada S i Z. Ako pažljivo pogledamo slova latinice (a to su, u suštini, i ravne figure!), vidjet ćemo među njima simetrične i asimetrična. Slova kao što su N, S, Z nemaju jednu os simetrije (kao i F, G, J, L, P, Q i R). Ali N, S i Z je posebno lako napisati "obrnuto" ( Imaju centar simetrije. - Pribl. edit). Sva ostala velika slova imaju barem jednu os simetrije. Slova A, M, T, U, V, W i Y mogu se podijeliti na pola duž uzdužne ose simetrije. Slova B, C, D, E, I, K - poprečna osa simetrije. Slova H, O i X imaju po dvije međusobno okomite ose simetrije.

Ako slova postavite ispred ogledala, postavljajući ih paralelno sa linijom, primijetit ćete da se u ogledalu mogu čitati i ona čija osa simetrije ide horizontalno. Ali oni čija je osa vertikalna ili potpuno odsutna, postaju „nečitljivi“.

Pitanje zašto se slova s ​​uzdužnom osom ponašaju drugačije od onih s poprečnom osom je prilično zanimljivo. Možda ćete i vi razmisliti o tome. O razlozima za ovu pojavu ćemo govoriti kasnije.

Ima djece koja pišu lijevom rukom, a sva njihova slova izlaze u zrcalnom, reflektiranom obliku. Dnevnici Leonarda da Vinčija pisani su "zrcalom". Vjerovatno ne postoji uvjerljiv razlog koji nas tjera da pišemo pisma na način na koji to radimo. Malo je vjerovatno da je zrcalni font teže savladati od našeg običnog.

Pravopis ne bi bio ništa lakši, a neke riječi, kao što je OTTO, ne bi se uopće mijenjale. Postoje jezici u kojima se obris likova zasniva na prisutnosti simetrije. Dakle, u kineskom pisanju, hijeroglif označava pravu sredinu.

U arhitekturi se ose simetrije koriste kao sredstva za izražavanje arhitektonskog dizajna. U inženjerstvu su ose simetrije najjasnije naznačene tamo gdje je potrebno procijeniti odstupanje od nulte pozicije, na primjer, na upravljaču kamiona ili na upravljaču broda.

NAŠ SVIJET U OGLEDALU

Od Linelanda smo dobili ideju centra simetrije, a od Flatlanda smo dobili ideju o osi simetrije. U trodimenzionalnom svijetu prostornih tijela, gdje živimo, postoje odgovarajuće ravni simetrije. “Ogledalo” uvijek ima jednu dimenziju manju od svijeta koje odražava. Kada se posmatraju okrugla tela, odmah je jasno da imaju ravni simetrije, ali koliko tačno nije uvek lako odlučiti.

Stavimo loptu ispred ogledala i počnemo je polako rotirati: slika u ogledalu neće se ni po čemu razlikovati od originala, naravno, ako lopta nema nikakve karakteristične osobine na svojoj površini. Lopta za ping pong pokazuje bezbroj ravni simetrije. Uzmimo nož, odrežemo polovinu lopte i stavimo je ispred ogledala. Zrcalna slika će ponovo upotpuniti ovu polovinu u cijelu loptu.

Ali ako uzmemo globus i razmotrimo njegovu simetriju, uzimajući u obzir geografske konture označene na njemu, tada nećemo pronaći ni jednu ravninu simetrije.

U Flatlandu je figura s bezbrojnim osama simetrije bila krug. Stoga nas ne treba čuditi što su u svemiru slična svojstva inherentna lopti. Ali ako je kružnica jedinstvena, onda u trodimenzionalnom svijetu postoji čitav niz tijela s beskonačnim brojem ravni simetrije: pravi cilindar s krugom u osnovi, konus s kružnim ili hemisferičnim baza, lopta ili segment lopte. Ili uzmimo primjere iz života: cigareta, cigara, čaša, torta u obliku kupa sa sladoledom, komad žice, lula.

Ako bolje pogledamo ova tijela, primijetit ćemo da se sva, na ovaj ili onaj način, sastoje od kružnice, kroz beskonačan broj osi simetrije postoji bezbroj ravni simetrije. Većina ovih tijela (nazivaju se tijela okretanja) također ima, naravno, centar simetrije (centar kruga), kroz koji prolazi barem jedna os simetrije.

Na primjer, os korneta sladoleda je jasno vidljiva. Proteže se od sredine kruga (što viri iz sladoleda!) do oštrog kraja levkastog konusa. Sveukupnost elemenata simetrije nekog tijela doživljavamo kao neku vrstu mjere simetrije. Lopta je, bez sumnje, u smislu simetrije, nenadmašno oličenje savršenstva, ideal. Stari Grci su ga doživljavali kao najsavršenije tijelo, a krug, naravno, kao najsavršeniju ravnu figuru.

Općenito, ove ideje su do danas sasvim prihvatljive. Dalje, grčki filozofi su zaključili da Univerzum nesumnjivo mora biti izgrađen po uzoru na matematički ideal. Iz ovog zaključka proizašle su greške, o čijim ćemo posljedicama govoriti kasnije. Jasno je da stari Grci još nisu imali sladolede! U suprotnom, takav prozaičan objekat, koji ima bezbroj ravni simetrije, mogao bi poremetiti njihov harmoničan sistem.

Ako pogledamo kocku radi poređenja, vidjet ćemo da ima devet ravni simetrije. Tri od njih dijele njegova lica, a šest prolaze kroz vrhove. U poređenju sa loptom, to, naravno, nije dovoljno.

Postoje li tijela koja po broju ravnina zauzimaju međupoložaj između sfere i kocke? Bez sumnje - da. Treba samo zapamtiti da se krug, u suštini, sastoji od poligona. Kroz ovo smo prošli u školi kada smo računali broj π. Ako podignemo n-ugaonu piramidu preko svakog n-ugla, kroz nju možemo povući n ravni simetrije.

Bilo bi moguće smisliti cigaru sa 32 strane koja bi imala odgovarajuću simetriju!

Ali ako ipak percipiramo kocku kao simetričniji objekt od ozloglašene sladoledne funte, onda je to zbog strukture površine. Lopta ima samo jednu površinu. Kocka ih ima šest - prema broju lica, a svako lice je predstavljeno kvadratom. Lijevak za sladoled sastoji se od dvije površine: kruga i ljuske u obliku kupa.

Više od dva milenijuma (vjerovatno zbog direktne percepcije) prednost se tradicionalno davala "srazmjernim" geometrijskim tijelima. Grčki filozof Platon (427-347 pne) otkrio je da se od pravilnih kongruentnih ravnih figura može konstruirati samo pet trodimenzionalnih tijela.

Od četiri pravilna (jednakostranična) trougla dobija se tetraedar (tetraedar). Od osam pravilnih trouglova možete izgraditi oktaedar (oktaedar) i, konačno, od dvadeset pravilnih trouglova - ikosaedar. I samo od četiri, osam ili dvadeset identičnih trouglova može se dobiti trodimenzionalno geometrijsko tijelo. Od kvadrata možete napraviti samo jednu volumetrijsku figuru - heksaedar (heksaedar), a od jednakostraničnih peterokuta - dodekaedar (dodekaedar).

A šta je u našem trodimenzionalnom svijetu potpuno lišeno zrcalne simetrije?

Ako je u Flatlandu to bila ravna spirala, onda će u našem svijetu to sigurno biti spiralno stepenište ili spiralna bušilica. Osim toga, postoje još hiljade asimetričnih stvari i predmeta u životu i tehnologiji oko nas. U pravilu, vijak ima desni navoj. Ali ponekad se nađe i lijeva. Tako su, radi veće sigurnosti, boce s propanom opremljene lijevim navojem tako da se na njih ne može ušrafiti reduktorski ventil namijenjen, na primjer, za bocu s drugim plinom. U svakodnevnom životu to znači da prilikom kampovanja, prije kuhanja na šporetu, uvijek treba probati na koji način je cilindar odvrnut.

Između lopte i kocke, s jedne strane, i spiralnog stepeništa, s druge, još uvijek postoji mnogo stupnjeva simetrije. Od kocke možemo postepeno oduzimati ravni simetrije, ose i centar dok ne dođemo do stanja potpune asimetrije.

Mi ljudi stojimo skoro na kraju ove serije simetrije, sa samo jednom ravninom simetrije koja dijeli naše tijelo na lijevu i desnu polovinu. Naš stupanj simetrije je isti kao, na primjer, kod običnog feldspata (minerala koji zajedno sa liskunom i kvarcom formira gnajs ili granit).

PET PLATONOVA ČVRSTA TIJELA

Za pravilne poliedre su tačne sljedeće tvrdnje:

1. U bilo kojem poliedru (uključujući i pravilne), zbir svih uglova između ivica koje konvergiraju u jednom vrhu je uvijek manji od 360°.

2. Po Ojlerovoj teoremi za konveksne poliedre

gdje je e broj vrhova, ƒ broj lica i k je broj ivica.

Lica pravilnih poliedara mogu biti samo sljedeći pravilni poligoni:

3, 4 ili 5 jednakostraničnih trouglova sa uglom od 60°. Šest takvih trouglova već daje 60° X 6 = 360° i stoga ne može ograničiti poliedarski ugao.

Tri kvadrata (90° X 3 = 270°), 3 pravilna petougla (108° X 3 = 324°), 3 pravilna šestougla (120° X 3 = 360°) određuju poliedarski ugao.

Iz Ojlerove teoreme i oblika lica slijedi da postoji samo 5 pravilnih poliedara:

(Bilo koje lice dodekaedra Pentagona je petougaona figura u kojoj su četiri strane jednake jedna drugoj, ali različite od pete. - Pribl. prevod)